A Matemática Árabe
Matemática árabe: esquecido de brilho?
Recentes pinturas de pesquisa um quadro novo da dívida que nós devemos a matemática de Arabic/Islamic. Certamente muitas das idéias que previamente era pensado que tinha sido concepções novas brilhantes devido a matemáticos europeus do décimo sexto, são conhecidos décimo sétimo e décimos oitavos séculos agora para ter sido desenvolvido ao redor mais cedo por matemáticos de Arabic/Islamic quatro séculos. Em muitos aspectos a matemática estudada hoje é longe mais íntima na moda para isso da contribuição de Arabic/Islamic que para o dos gregos.
Há uma visão amplamente segurada que, depois de um período brilhante para matemática quando os gregos puseram as fundações para matemática moderna, havia um período de estagnação antes dos europeus assumiu onde os gregos partiram fora no começo do décimo sexto século. A percepção comum do período de 1000 anos ou assim entre os gregos antigos e o Renascimento europeu é aquele pouco aconteceu no mundo de matemática a não ser que foram feitas algumas traduções árabes de textos gregos que preservou a aprendizagem grega de forma que isto estava disponível aos europeus no começo do décimo sexto século.
Aquelas tais visões geralmente deveriam ser seguradas é de nenhuma surpresa. Muitos historiadores principais de matemática contribuíram à percepção por qualquer um omitindo qualquer menção de matemática de Arabic/Islamic no desenvolvimento histórico do assunto ou com declarações como isso feito por Duhem dentro [3]: -
... Ciência árabe só reproduziu os ensinos recebidos de ciência grega.
Antes de nós procedêssemos que vale que tenta definir o período que este artigo cobre e dá uma descrição global para cobrir os matemáticos que contribuíram. O período que nós cobrimos é fácil descrever: estira do fim do oitavo século para sobre o meio do décimo quinto século. Dar uma descrição para cobrir os matemáticos que contribuíram, porém, é muito mais duro. Os trabalhos [6] e [17] está em" matemática islâmica", semelhante para [1] que usa o título a" contribuição muçulmana para matemática." Outros autores tentam a descrição" matemática árabe", veja por exemplo [10] e [11]. Porém, certamente não todos os matemáticos que nós desejamos incluir eram os muçulmanos; alguns eram judeus, alguns cristãos, algumas de outras fés. Nem era todos estes árabes de matemáticos, mas para conveniência nós chamaremos nosso tópico" matemática árabe."
As regiões das quais os" matemáticos árabes" vieram eram centred em Iran/Iraq mas variado com conquista militar durante o período. Estirou ao oeste pela Turquia e Norte a África incluir a maioria de Espanha a sua maior extensão, e para o leste até onde as bordas de China.
O fundo para os desenvolvimentos matemáticos que começaram ao redor em Bagdá 800 não é entendido bem. Certamente havia uma influência importante que veio dos matemáticos hindus cujo desenvolvimento mais cedo do sistema decimal e numeral era importante. Lá começado um período notável de progresso matemático com al-Khwarizmi trabalhe e as traduções de textos gregos.
Este período começa debaixo do Califa Harun al-Rashid, o quinto Califa da dinastia de Abbasid cujo reinado começou em 786. Ele encorajou bolsa de estudos e as primeiras traduções de textos gregos em árabe, como os Elementos de Euclid por al-Hajjaj, foi feito durante al-Rashid reinado. O próximo Califa, al-Ma'mun, aprendizagem encorajada iguala mais fortemente que o pai dele al-Rashid, e ele montou a Casa de Sabedoria em Bagdá que se tornou o centro para ambos o trabalho de traduzir e de de pesquisa. Al-Kindi (nascido 801) e o três Banu Musa que os irmãos trabalharam lá, como fez o tradutor famoso ibn de Hunayn Ishaq.
Nós deveríamos enfatizar que as traduções em árabe neste momento foram feitas pelos cientistas e matemáticos como esses nomeados acima, não por peritos de idioma ignorante de matemática, e a necessidade para as traduções foi estimulada pela pesquisa mais avançada do tempo. É importante perceber que o traduzir não era terminado para sua própria causa, mas era terminado como parte do esforço de pesquisa atual. O grego mais importante textos matemáticos que foram traduzidos são listados dentro [17]: -
Dos trabalhos de Euclid, os Elementos, os Dados, a Ótica, o Phaenomena, e Em Divisões foi traduzido. Dos trabalhos de Archimedes só dois - Esfera e Cilindro e Medida do Círculo - é conhecido para ter sido traduzido, mas estes eram suficientes para estimular pesquisas independentes dos 9º para o 15º século. Por outro lado, virtualmente todos os trabalhos de Apollonius foram traduzidos, e de Diophantus e Menelaus um livro cada, o Arithmetica e o Sphaerica, respectivamente, foi traduzido em árabe. Finalmente, a tradução do Almagest de Ptolomeu forneceu material astronômico importante.
Os textos matemáticos gregos mais secundários que foram traduzidos também são determinados dentro [17]: -
... O tratado de Diocles em espelhos, o Spherics de Theodosius, o trabalho de Pappus em mecânicas, o Planisphaerium de Ptolomeu, e os tratados de Hypsicles em poliedros regulares (o denominado Reserva XIV e XV dos Elementos de Euclid)...
Talvez um dos avanços mais significantes feito por matemática árabe começou neste momento com o trabalho de al-Khwarizmi, isto é os começos de álgebra. É importante há pouco entender como significante esta idéia nova era. Era um movimento revolucionário longe do conceito grego de matemática que era essencialmente geometria.
Álgebra era uma teoria unificando que permitiu números racionais, números irracionais, magnitudes geométricas, etc., para tudo seja tratado como" objetos algébricos." Deu tanto para matemática um caminho de desenvolvimento novo inteiro mais largo em conceito para o antes do qual tinha existido, e contanto um veículo para desenvolvimento futuro do assunto. Outro aspecto importante da introdução de idéias algébricas era que permitiu aplicar matemática de certo modo a si mesmo que não tinha acontecido antes. Como Rashed escreve dentro [11] (também veja [10]): -
Al-Khwarizmi os sucessores empreenderam uma aplicação sistemática de aritmética a álgebra, álgebra para aritmética, ambos para trigonometria, álgebra para a teoria de Euclidean de números, álgebra para geometria, e geometria para álgebra. Isto era como a criação de álgebra polinomial, análise de combinatorial, análise numérica, a solução numérica de equações, a teoria elementar nova de números, e a construção geométrica de equações surgiu.
Nos deixe seguir o desenvolvimento de álgebra por um momento e olhe a al-Khwarizmi os sucessores. Aproximadamente quarenta anos depois de al-Khwarizmi é o trabalho de al-Mahani (nascido 820), que concebeu a idéia de reduzir problemas geométricos como duplicar o cubo a problemas em álgebra. Abu Kamil (nascido 850) formas uma ligação importante no desenvolvimento de álgebra entre al-Khwarizmi e al-Karaji. Apesar de não usar símbolos, mas escrevendo poderes de x em palavras, ele tinha começado a entender o que nós escreveríamos em símbolos como xn.xm = xm+n. Nos deixe observação que símbolos não se apareceram em matemática árabe até muito depois. Ibn al-Banna e al-Qalasadi símbolos usados no 15º século e, embora nós não sabemos exatamente que quando o uso deles/delas começou, nós sabemos que símbolos eram pelo menos usados um século antes disto.
Al-Karaji (nascido 953) é visto por muitos como a primeira pessoa para álgebra completamente livre de operações geométricas e os substituir com o tipo aritmético de operações que estão ao caroço de álgebra hoje. Ele era primeiro definir o monomials x, x2, x3,... e 1/x, 1/x2, 1/x3,... e dar regras para produtos de qualquer dois destes. Ele começou uma escola de álgebra que floresceu para várias centenas de anos. Al-Samawal, quase 200 anos depois, era um sócio importante de al-Karaji escola. Al-Samawal (nascido 1130) foi o primeiro em dar para o tópico novo de álgebra uma descrição precisa quando ele escreveu que estava preocupado: -
... com operar em desconhecidos que usam todas as ferramentas aritméticas, da mesma maneira como o arithmetician opera no conhecido.
Omar Khayyam (nascido 1048) deu uma classificação completa de equações cúbicas com soluções geométricas achadas por meio de cruzar seções cônicas. Khayyam também escreveu que ele esperou dar uma descrição cheia da solução algébrica de equações cúbicas em um trabalho posterior [18]: -
Se a oportunidade surge e eu posso ter sucesso, eu darei para tudo estas quatorze formas com todas suas filiais e casos, e como distinguir tudo que é possível ou impossível de forma que um papel, enquanto contendo elementos que são muito útil nesta arte estarão preparados.
Al-estrondo de Sharaf al-Tusi (nascido 1135), embora quase exatamente a mesma idade como al-Samawal, não siga o desenvolvimento geral pelo que veio al-Karaji escola de álgebra mas bastante segue a aplicação de Khayyam de álgebra a geometria. Ele escreveu um tratado em equações cúbicas que [11]: -
... representa uma contribuição essencial a outra álgebra que apontou para estudar curvas por meio de equações, enquanto inaugurando o começo de geometria algébrica assim.
Nos deixe dar outros exemplos do desenvolvimento de matemática árabe. Voltando à Casa de Sabedoria em Bagdá no 9º século, um matemático que estava lá educado pelo Banu Musa os irmãos era ibn de Thabit Qurra (nascido 836). Ele fez muitas contribuições a matemática, mas nos deixou considerarmos para o momento considere as contribuições dele para numerar teoria. Ele descobriu um teorema bonito que permitiu achar pares de números amigáveis, que é dois numeram tal que cada é a soma dos próprios divisores do outro. Al-Baghdadi (nascido 980) olhou para uma variante leve de ibn de Thabit o teorema de Qurra, enquanto al-Haytham (nascido 965) parece ter sido o primeiro em tentar classificar números perfeitos todo até mesmo (números igual à soma dos próprios divisores deles/delas) como esses da forma 2k-1(2k - 1) onde 2k - 1 é principal.
Al-Haytham, também é a primeira pessoa que nós conhecemos para declarar o teorema de Wilson, isto é que se p é então principal 1+(p-1)! é divisível através de pág. Está obscuro se ele soube provar este resultado. É chamado o teorema de Wilson por causa de um comentário feito por Waring em 1770 aquele John Wilson tinha notado o resultado. Há nenhuma evidência que o John Wilson soube provar isto e certamente Waring não fez. Lagrange deu a primeira prova em 1771 e deveria ser notado que é mais de 750 anos depois al-Haytham antes de teoria de número ultrapassa esta realização de matemática árabe.
Continuando a história de números amigáveis dos quais nós levamos uma diversão, vale que nota que eles fazem um papel grande em matemática árabe. Al-Farisi (nascido 1260) deu para uma prova nova de ibn de Thabit o teorema de Qurra, enquanto introduzindo idéias novas importantes relativo a factorisation e métodos de combinatorial. Ele também deu o par de amigável numera 17296, 18416 que foram atribuídos que a Euler, mas nós sabemos que estes eram conhecidos mais cedo que al-Farisi, talvez até mesmo através de ibn de Thabit o próprio Qurra. Embora fora de nossa gama de tempo para matemática árabe neste artigo, está que valor que nota isso no 17º século o matemático árabe Maomé Baqir Yazdi ainda deu para o par de número amigável 9,363,584 e 9,437,056 muitos anos antes da contribuição de Euler.
Nos deixe virar aos sistemas diferentes de contar que era é use ao redor do 10º século em países árabes. Havia três tipos diferentes de aritmética usados ao redor deste período e, ao final do 10º século, autores como al-Baghdadi estava escrevendo textos que comparam os três sistemas.
1. Aritmética dedo-considerando. Este sistema derivado de contar com os dedos com os numeral escrito completamente em palavras; esta aritmética de dedo-conta era o sistema usado pela comunidade empresarial. Matemáticos como Abu'l-Wafa (nascido 940) escreveu vários tratados que usam este sistema. O próprio Abu'l-Wafa era um perito no uso de numeral índios mas estes: -
... não ache aplicação em círculos de negócio e entre a população do Califado Oriental por muito tempo.
Conseqüentemente ele escreveu o texto dele usando aritmética de dedo-conta desde que este era o sistema usado pela comunidade empresarial.
2. Sistema de Sexagesimal. O segundo dos três sistemas era o sistema de sexagesimal, com numeral denotados por cartas do alfabeto árabe. Veio originalmente dos babilônico e era freqüentemente usado pelos matemáticos árabes no trabalho astronômico.
3. Sistema de numeral índio. O terceiro sistema era a aritmética dos numeral índios e frações com o sistema de lugar-valor decimal. Os numeral usados foram assumidos da Índia, mas não havia um jogo standard de símbolos. Partes diferentes do mundo árabe usaram formas ligeiramente diferentes dos numeral. No princípio os métodos índios eram usados pelos árabes com uma tábua de pó. De uma tábua de pó foi precisada porque os métodos requereram a mudança de números ao redor no cálculo e esfregando alguns fora como o cálculo procederam. A tábua de pó permitiu fazer isto no mesmo tipo de modo aquele pode usar um quadro-negro, giz e uma borracha de quadro-negro. Porém, al-Uqlidisi (nascido 920) mostrou como modificar os métodos para caneta e uso de papel. Al-Baghdadi também contribuiu a melhorias no sistema decimal.
Foi este terceiro sistema de calcular que permitiu a maioria dos avanços em métodos numéricos pelos árabes. Permitiu a extração de raízes por matemáticos como Abu'l-Wafa e Omar Khayyam (nascido 1048). A descoberta do teorema binomial para explicadores de inteireza por al-Karaji (nascido 953) era um fator principal no desenvolvimento de análise numérica baseado no sistema decimal. Al-Kashi (born1380) não só contribuiu ao desenvolvimento de frações decimais por aproximar números algébricos, mas também para números reais como?. A contribuição dele para frações decimais é tão principal que por muitos anos ele foi considerado como o inventor deles/delas. Embora não o primeiro em fazer assim, al-Kashi deu um algoritmo por calcular nth arraiga que é um caso especial dos métodos dado muitos séculos depois por Ruffini e Horner.
Embora os matemáticos árabes são a maioria afamado para o trabalho deles/delas em álgebra, teoria de número e sistemas de número, eles também fizeram contribuições consideráveis a geometria, trigonometria e astronomia matemática. Ibrahim ibn Sinan (nascido 908), que introduziu um método de integração mais geral que isso de Archimedes, e al-Quhi (nascido 940) era figuras principais em uma revivificação e continuação de geometria mais alta grega no mundo islâmico. Estes matemáticos, e em particular al-Haytham, ótica estudada e investigou as propriedades ópticas de espelhos feitas de seções cônicas. Omar Khayyam combinou o uso de trigonometria e teoria de aproximação para prover métodos de resolver equações algébricas através de meios geométricos.
Astronomia, tempo-mantendo e geografia proveu outras motivações para pesquisa geométrica e trigonométrica. Por exemplo o Ibrahim ibn Sinan e o avô Thabit ibn dele Qurra que ambas as curvas estudadas requereram na construção de relógios de sol. Abu'l-Wafa e Abu Nasr Mansur ambos geometria esférica aplicada para astronomia e também fórmulas usadas que envolvem pecado e bronzeado. Al-Biruni (nascido 973) usado a fórmula de pecado em astronomia e no cálculo de longitudes e latitudes de muitas cidades. Novamente astronomia e geografia motivaram al-Biruni estudos extensos de projetar um hemisfério sobre o avião.
Ibn de Thabit Qurra empreendeu ambos teórico e observational trabalham em astronomia. Al-Battani (nascido 850) fez observações precisas que lhe permitiram melhorar nos dados de Ptolomeu para o sol e a lua. Al-estrondo de Nasir al-Tusi (nascido 1201), como muitos outros matemáticos árabes, baseado a astronomia teórica dele no trabalho de Ptolomeu mas al-Tusi compôs o desenvolvimento mais significante do modelo de Ptolomeu do sistema planetário o desenvolvimento do modelo heliocêntrico pelo tempo de Copernicus.
Muitos dos matemáticos árabes produziram mesas de funções trigonométricas como parte dos estudos deles/delas de astronomia. Estes incluem Ulugh Beg (nascido 1393) e al-Kashi. A construção de instrumentos astronômicos como o astrolábio também era uma especialidade dos árabes. Al-Mahani usado um astrolábio enquanto Ahmed (nascido 835), al-Khazin (nascido 900), Ibrahim ibn Sinan, al-Quhi, Abu Nasr Mansur (nascido 965), al-Biruni, e outros, tudo escreveram tratados importantes no astrolábio. Al-estrondo de Sharaf al-Tusi (nascido 1201) inventou o astrolábio linear. A importância dos matemáticos árabes no desenvolvimento do astrolábio é descrita dentro [17]: -
O astrolábio cuja teoria matemática está baseado na projeção de stereographic da esfera, foi inventado em recente antiguidade, mas seu desenvolvimento extenso em Islã fez isto o relógio de bolso do medievals. Em sua forma original, requereu um prato diferente de coordenadas de horizonte para cada latitude, mas no 11º século o astrônomo muçulmano espanhol az-Zarqallu inventou um único prato que trabalhou para todas as latitudes. Ligeiramente mais cedo, astrônomos no Leste tinham experimentado com projeções planas da esfera, e al-Biruni inventou tal uma projeção que poderia ser usada para produzir um mapa de um hemisfério. A obra-prima culminando era o astrolábio do Ibn sírio cinza-Shatir (1305-75), uma ferramenta matemática que poderia ser usada para resolver todos os problemas standards de astronomia esférica de cinco modos diferentes.
Referências (21 books/articles)
Outros sites da Web: Foro de Matemática
Artigo por: o J J O'Connor e E F Robertson
Avaliação de matemática chinesa
Vários fatores conduziram ao desenvolvimento de matemática China sendo, durante um período longo, independente de desenvolvimentos em outro civilisations. A natureza geográfica do país significou que havia limites naturais (montanhas e mares) que isolou isto. Por outro lado, quando o país foi conquistado por invasores estrangeiros, eles foram assimilados na cultura chinesa em lugar de mudar a cultura para o próprio deles/delas. Como uma conseqüência havia um desenvolvimento cultural contínuo na China de ao redor 1000 AC e é fascinante para localizar desenvolvimento matemático dentro daquela cultura. Há períodos de avanço de correnteza, períodos quando um certo nível foi mantido, e períodos de declínio.
A primeira coisa para entender sobre matemática chinesa antiga é o modo no qual difere de matemática grega. Matemática grega distinta há nenhum desenvolvimento axiomático de matemática. O conceito chinês de prova matemática é radicalmente diferente disso dos gregos, contudo a pessoa não deve em qualquer senso pense menos disto por causa disto. Bastante a pessoa tem que se maravilhar da aproximação chinesa a matemáticas e os resultados para os quais conduziu.
Matemática chinesa era, como o idioma deles/delas, muito conciso. Era muito problema fundado, motivado por problemas do calendário, comercie, medida de terra, arquitetura, o governo registra e impostos. Antes do quarto século AC contando tábuas eram usados para calcular, que significou efetivamente que um lugar decimal avaliou que sistema de número era em uso. Vale que nota que contando tábuas são exclusivamente chineses, e não parece ter sido usado por qualquer outro civilisation.
Nosso conhecimento de matemática chinesa antes das 100 AC é muito delineado embora em 1984 o Suan shu shu (UM Livro em Aritmética) datando de ao redor 180 AC foi descoberto. É um livro escrito em tiras de bambu e foi achado perto de Jiangling em província de Hubei. Os próximos livros importantes dos quais nós temos registros são um dezesseis trabalho de capítulo Suanshu (prescrições de Computational) escrito por Du Zhong e um vinte e seis trabalho de capítulo Xu suanshu de Shang (prescrições de Computational de Xu Shang) escrito por Xu Shang. Nenhum destes textos sobreviveu e pouco é conhecido do conteúdo deles/delas. Os mais velhos completam texto sobrevivente é o suanjing de Zhoubi (Zhou Sombra Medida Manual) que foi compilado entre 100 AC e 100 DC (veja o artigo em O Dez Classics). É um texto de astronomia, enquanto mostrando como medir as posições dos corpos celestes que usam sombra mede que também é chamado gnomons, mas contém seções importantes em matemática. Dá uma declaração clara na natureza de matemática chinesa por este período (veja por exemplo [2]: -
O método de cálculo é muito simples explicar mas tem aplicação larga. Isto é porque uma pessoa ganha conhecimento por analogia, isso é, depois de entender uma linha particular de argumento eles podem deduzir vários tipos de raciocínio semelhante... Quem pode tirar conclusões sobre outros casos de um exemplo pode generalizar... realmente sabe calcular... . Poder deduzir e então generalizar.. é a marca de uma pessoa inteligente.
O suanjing de Zhoubi contém uma declaração da regra de Gougu (a versão chinesa do teorema de Pythagoras) e aplica isto a inspecionar, astronomia, e outros tópicos. Embora é aceitado amplamente que o trabalho também contém uma prova do teorema de Pythagoras, Cullen em [39] disputa isto, enquanto reivindicando que a convicção está baseado em uma tradução rachada cedida por Needham [13].
Na realidade muita matemática chinesa deste período foi produzida por causa da necessidade para fazer cálculos por construir o calendário e predizer posições dos corpos celestes. A palavra chinesa' chouren' se refere a matemáticos e astrônomos que mostram a ligação íntima entre as duas áreas. Um cedo' choren' era Luoxia Hong (aproximadamente 130 AC - aproximadamente 70 AC) que produziu um calendário que estava baseado em um ciclo de 19 anos.
As matemáticas de chinês mais famosas reservam de todo o tempo é o suanshu de Jiuzhang ou, como é chamado mais geralmente, os Nove Capítulos na Arte Matemática. O livro contém contribuições certamente a matemática que tinha sido feita em cima de um real período longo, mas há pouco no texto original distinguir o período preciso de cada. Este trabalho importante que veio dominar desenvolvimento matemático e nomear durante 1500 anos é discutido no artigo Nove Capítulos na Arte Matemática. Muitos desenvolvimentos posteriores passaram por comentários neste texto, um do primeiro ser por Xu Yue (aproximadamente 160 - aproximadamente 227) embora este aqui esteve perdido.
Um avanço matemático significante foi feito por Liu Hui (aproximadamente 220 - aproximadamente 280) que escreveu o comentário dele no suanshu de Jiuzhang ou Nove Capítulos na Arte Matemática em aproximadamente 263. Dong e Yao escrevem [24]: -
Liu Hui, grande matemático na Wei Jin Dinastia, conduziu por uma era de theorisation matemático na China antiga, e fez grandes contribuições ao domínio de matemática. Do" Jiu Zhang Suan Shu Zhu" e o" Hai Dao Suan Jing" pode ser visto que Liu Hui fez uso hábil de pensar em imagens como também em lógico e modos de dialectical. Ele resolveu muitos problemas matemáticos, enquanto empurrando o raciocínio matemático dele mais adiante ao longo do modo de dialectical.
Liu Hui deu uma aproximação mais matemática que textos chineses mais cedo, provendo princípios nos quais os cálculos dele são baseados. Ele achou aproximações a usar polígonos regulares com 3 2n lados se inscreveu em um círculo. A melhor aproximação dele de era 3.14159 que alcançou ele de um polígono regular de 3072 lados. Está claro que ele entendeu que iterative processa e a noção de um limite. Liu também escreveu para suanjing de Haidao ou para Ilha de Mar Manual Matemático (veja o artigo em O Dez Classics) que era originalmente um apêndice ao comentário dele em Capítulo 9 dos Nove Capítulos na Arte Matemática. Nisto Liu usa o teorema de Pythagoras para calcular alturas de objetos e distâncias a objetos que não podem ser medidos diretamente. Este era se tornar um dos temas de matemática chinesa.
Aproximadamente cinqüenta anos depois das contribuições notáveis de Liu, um avanço principal foi feito em astronomia quando Yu Xi descobriu a precessão dos equinócios. Em matemática era algum tempo antes de matemáticas progredissem além da profundidade alcançada por Liu Hui. Por exemplo Sol Zi (aproximadamente 400 - aproximadamente 460) escreveu para o manual matemático dele o suanjing de Sunzi que em geral provê pequeno novo. Porém, faz contém um problema resolveu usando o teorema de resto chinês, enquanto sendo a ocorrência conhecida mais cedo deste tipo de problema.
Este texto através de Sol Zi foi o primeiro de vários textos em cima do seguinte duzentos anos que fizeram várias contribuições importantes. Xiahou Yang (aproximadamente 400 - aproximadamente 470) era o autor suposto do Xiahou suanjing de Yang (o Manual Matemático de Xiahou Yang) que contém representações de números na notação decimal que usa positivo e poderes negativos de dez. Zhang Qiujian (aproximadamente 430 - aproximadamente 490) escreveu para o texto matemático dele Zhang suanjing de Qiujian (o Manual Matemático de Zhang Qiujian) algum tempo entre 468 e 486. Seus 92 problemas ilustram a fórmula por somar uma progressão aritmética. Talvez é muito famoso para apresentar o' Cem problema de aves' que é um problema indeterminado com três soluções non-triviais.
Um dos avanços mais significantes estava por Zu Chongzhi (429-501) e o filho Zu Geng dele (aproximadamente 450 - aproximadamente 520). Zu Chongzhi era um astrônomo que fez observações precisas que ele produzia um calendário novo, o Calendário de Tam-ing (Calendário de Grande Brilho) que estava baseado em um ciclo de 391 anos. Ele escreveu o shu de Zhui (Método de Interpolação) em o qual provou ele que 3.1415926 <? < 3.1415927. Ele recomendou usar 355/113 como uma aproximação boa e 22/7 no trabalho menos preciso. Com o filho Zu Geng dele ele computou a fórmula para o volume de uma esfera que usa o princípio de Cavalieri (veja [25]). São vistos os começos de álgebra chinesa no trabalho de Wang Xiaotong (aproximadamente 580 - aproximadamente 640). Ele escreveu o suanjing de Jigu (Continuação de Matemática Antiga), um texto com só 20 problemas que depois se tornaram um do Dez Classics. Ele resolveu equações cúbicas estendendo um algoritmo por achar raízes de cubo. O trabalho dele é visto como um primeiro passo para o" "yuan de tian ou" "método de ordem de coeficiente ou" método do desconhecido celestial" de Li Zhi por computar com polinômios.
Interpolação era uma ferramenta importante em astronomia e Liu Zhuo (544-610) era um astrônomo que introduziu interpolação quadrática com um segundo método de diferença de ordem. Certamente astronomia chinesa não era totalmente independente de desenvolvimentos que acontecem no assunto na Índia e semelhantemente matemática foi influenciada até certo ponto por trabalhos matemáticos índios alguns dos quais foram traduzidos em chinês. Historiadores discutem hoje sobre a extensão da influência no desenvolvimento chinês de índio, árabe e matemática islâmica. É justo dizer que a influência deles/delas era menos que que poderia ter sido, para o chinês pareciam ter pequeno deseje abraçar outras aproximações a matemática. Cedo trigonometria foi descrita em alguns dos textos índios que foram traduzidos e também haviam desenvolvimento de trigonometria na China. Por exemplo Yi Xing (683-727) produziu uma mesa tangente.
Da sexta matemática de século foi ensinado como parte do curso para os exames de administração civil. Li Chunfeng (602 - 670) foi designado como o editor-em-chefe para uma coleção de tratados matemáticos ser usado para tal um curso sobre muitos de que nós mencionamos. A coleção é chamada O Dez Classics, um nome dado a eles em 1084, agora.
O período do décimo para os décimos segundos séculos é um onde foram feitos poucos avanços e nenhum texto matemático deste período sobrevive. Porém Jia Xian (aproximadamente 1010 - aproximadamente 1070) fez contribuições boas que só são conhecido pelos textos de Yang Hui desde que as próprias escritas dele estão perdidas. Ele melhorou métodos por achar honestamente e raízes de cubo, e estendido o método para a solução numérica de poderes de computação de equações polinomiais de somas que usam coeficientes binomiais construída com o triângulo de Pascal. Embora Shen Kua (1031 - 1095) fez relativamente poucas contribuições a matemática, ele produziu trabalho notável em muitas áreas e considerou por muitos como o primeiro cientista. Ele escreveu o Meng ch'i pi t'an (conversas de Escova de Sonho o Brook) que contém muitas observações científicas precisas.
O próximo avanço matemático principal estava por Qin Jiushao (1202 - 1261) que escreveu para o tratado matemático famoso dele Shushu Jiuzhang (Tratado Matemático em Nove Seções) que se apareceu em 1247. Ele foi o primeiro dos grandes décimo terceiro século matemáticos chineses. Este era um período de progresso principal durante o qual matemáticas alcançaram alturas novas. O tratado contém trabalho notável no teorema de resto chinês, dá uma equação cujos coeficientes são variáveis e, entre outros resultados, a fórmula de Garça para a área de um triângulo. São resolvidas equações até grau dez usando o método de Ruffini-Horner.
Li Zhi (também chamou Li Yeh) (1192-1279) era o próximo dos grandes décimo terceiro século matemáticos chineses. O trabalho mais famoso dele é o Ce yuan hai jing (espelho de Mar de medidas de círculo). escrito em 1248. Contém o" "yuan de tian ou" "método de ordem de coeficiente ou" método do desconhecido celestial" que era um método para trabalhar com equações polinomiais. Ele também escreveu Yi gu yan duan (passos Novos em computação) em 1259 está contendo um trabalho mais elementar que resolveram problemas geométricos por álgebra. A próxima figura principal desta idade dourada de matemática chinesa era Yang Hui (aproximadamente 1238 - aproximadamente 1298). Ele escreveu o Xiangjie jiuzhang suanfa (análise Detalhada das regras matemáticas nos Nove Capítulos e o reclassifications deles/delas) em 1261, e os outros trabalhos dele foram colecionados no Yang suanfa de Hui (os métodos de Yang Hui de computação) que se apareceu em 1275. Ele descreveu multiplicação, divisão, raiz-extração, equações quadráticas e simultâneas, séries, computações de áreas de um retângulo, um trapezóide, um círculo, e outras figuras,. Ele também deu conta de quadrados mágicos e círculos de magia.
Guo Shoujing (1231-1316), embora não normalmente incluiu entre os matemáticos principais do treze século, contribuições importantes não obstante feitas. Ele produziu o Shou shi li (Trabalha e Calendário de Dias), trabalhou em trigonometria esférica, e resolveu equações que usam o Ruffini-Horner método numérico. Ele também desenvolveu uma fórmula de interpolação cúbica que tabula diferenças da diferença acumulada como no método de interpolação de diferença dianteiro de Newton.
O último dos matemáticos desta idade dourada era Zhu Shijie (aproximadamente 1260 - aproximadamente 1320) que escreveu o qimeng de Suanxue (Introdução para estudos matemáticos) publicou em 1299, e o yujian de Siyuan (Verdadeiras reflexões dos quatro desconhecidos) publicou em 1303. Ele usou uma extensão do" "método de ordem de coeficiente ou" método do desconhecido celestial" para controlar polinômios com até quatro desconhecidos. Ele também deu muitos resultados em somas de séries. Isto representa um ponto alto em matemática chinesa antiga.
O declínio em matemática chinesa do décimo quarto século não estava por qualquer meios dramático. Os Nove Capítulos na Arte Matemática continuada sendo o modelo para aprendizagem matemática e trabalhos novos fundada nisto continuaram se aparecendo. Por exemplo Ding Ju publicou o Ding ju suan fa (os métodos aritméticos de Ding Ju) em 1355, Ele Pingzi publicou o Xiangming suan fa (Explicações de aritmética) em 1373, Liu Shilong publicou o Jiu zhang tong ming suanfa (Métodos de cálculo no' Nove Capítulos) em 1424, e Wu Jing publicou o Jiu zhang suan fa bi lei da quan (descrição Completa do' Nove Capítulos) em 1450. Wu Jing era um administrador na província de Zhejing e a enciclopédia aritmética dele conteve todos os 246 problemas dos Nove Capítulos. Novamente Cheng Dawei (1533 - 1606) publicou o Suanfa tong zong (fonte Geral de métodos de computational) em 1592 que é escrito no estilo dos Nove Capítulos na Arte Matemática mas provê uma coleção até maior de 595 problemas.
Os livros nós listamos há pouco espetáculo atividade matemática, mas eles não levaram os métodos de álgebra polinomial adiante. Pelo contrário, os trabalhos fundos do 13º século cessaram ser entendidos até mesmo mais adiante muito menos desenvolvido. Xu Guangqi (1562 - 1633) certamente reconheceu isto exatamente e ofereceu possíveis explicações inclusive estudantes que negligenciam ferramentas de computational práticas e uma identificação de matemática com numerology místico debaixo da dinastia de Ming. Outros fatores devem ser que os livros que descrevem os métodos avançados eram, na tradição chinesa, muito conciso, e sem professores passar uma compreensão ficou crescentemente difícil os estudantes aprenderem diretamente dos textos. Xu Guangqi foi o primeiro nativo de China publicar traduções de livros europeus em chinês. Colaborando com Matteo Ricci ele traduziu livros Ocidentais em matemáticas, hidráulicas, e geografia. Certamente isto não marca o fim da tradição de matemática chinesa, mas do tempo de Matteo Ricci e outros missionários Ocidentais a China foi influenciada grandemente através de outras tradições matemáticas.
É impossível em um artigo deste comprimento mencionar muitas das numerosas contribuições deste período em. Nos deixe mencionar uma família importante, porém, isto é a família de Mei. O sócio mais famoso desta família era Mei Wending (1633-1721) e o comentário dele na seção dourada é típico da atitude sensata ele levou para matemática Ocidental (veja por exemplo [9]): -
Depois de ter entendido como fazer uso da seção dourada, eu comecei a acreditar que os métodos geométricos diferentes pudessem ser entendidos e que nem a atitude de missionários de considerar esta técnica simples como um presente divino, nem a atitude chinesa de rejeitar isto como heresia está correta.
Mei escolheu não levar um poste de governo como a maioria dos matemáticos fez, mas bastante decidiu se dedicar a matemática e seu ensino. Ele travelled amplamente ao longo da China e ganhou grande fama que conduz a muitas pessoas que se tornam os alunos dele. Dois dos irmãos dele, Mei Wenmi e Mei Wennai, trabalhou em astronomia e matemática. Mei Wending foi ajudado depois na vida dele pelo filho Mei Yiyan dele. Mei Juecheng (1681-1763), que era o neto de Mei Wending, foi perguntado em 1705 por Imperador Kangxi ser editor-em-principal da enciclopédia matemática principal jingyun de Shuli (Colecionou princípios básicos de matemática) (1723). Mei Juecheng também editou o trabalho do avô Mei Wending dele que produz o Meishi congshu jiyao (Colecionou trabalhos da família de Mei) em 1761.
Certas pessoas do décimo oitavo onwards de século fizeram um trabalho excelente registrando a tradição chinesa de forma que muito disto ainda é acessível a nós hoje. Por exemplo Dai Zhen (1724 - 1777) se tornou um editor para o quanshu de Siku (biblioteca Completa das quatro filiais de literatura) para cima o qual estava um jogo de projeto por Imperador Qianlong em 1773. Ele editou uma edição nova dos Nove Capítulos na Arte Matemática depois de copiar o texto completo como parte deste projeto. Ruan Yuan (1764 - 1849) produziu o trabalho famoso dele o zhuan de Chouren ou Biografias de astrônomos e matemáticos que contêm biografias de 275 chinês e 41 "matemáticos Ocidentais." Muitos detalhes biográficos de matemáticos chineses registrados neste Arquivo são conhecidos por este trabalho. Li Rui (1768 - 1817) ajudou Ruan Yuan. Ele era um matemático altamente produtivo que morreu quando na plenitude das habilidades dele. O trabalho mais importante dele é Lishi suan xue yi shu (Colecionou trabalhos matemáticos de Li Rui).
É ao crédito de matemáticos chineses que eles não deixaram a tradição matemática deles/delas seja substituído pela tradição ocidental. Por exemplo Li Shanlan (1811-1882) é importante como tradutor de textos de ciência Ocidentais mas ele é muito famoso para as próprias contribuições matemáticas dele. Ele produziu as próprias versões dele de logaritmos, séries infinitas, e combinatorics que não seguiram o estilo de matemática ocidental mas a pesquisa dele naturalmente desenvolvidas fora das fundações de matemática chinesa. Havia muitos outros esforços para promover matemática chinesa, e em particular um diário de matemática, o bao de Suanxue, era fixo para cima em 1899. Os editores escreveram: -
Não deveriam ser adulados métodos ocidentais e métodos chineses menosprezaram.
Matemáticos ocidentais começaram a dissertar na China durante os anos cedo do vigésimo século. Por exemplo Knopp ensinou lá entre 1910 e 1917, e Turnbull entre 1911 e 1915. Os estudantes chineses começaram a estudar matemática no estrangeiro e em 1917 Minfu Tah Hu um doutorado obteve de Harvard. China foi representada pela primeira vez ao Congresso Internacional de Matemáticos em Zürich em 1932. A Sociedade matemática chinesa foi formada em 1935.
Tópico de história: Uma avaliação de matemática egípcia
Civilisation alcançou um nível alto no Egito a um período cedo. O país foi vestido bem para as pessoas, com uma terra fértil graças ao rio o Nilo contudo com um clima agradável. Também era um país que foi defendido tendo poucos neighbours natural facilmente para atacar isto para os desertos circunvizinhos proveu uma barreira natural a invadir forças. Como uma conseqüência o Egito desfrutou períodos longos de paz quando sociedade avançou rapidamente.
Antes das 3000 AC duas nações mais cedo tinham unido para formar uma única nação egípcia debaixo de uma única regra. Tinha sido desenvolvida agricultura fabricação uso pesado do habitual molhado e períodos secos do ano. O Nilo inundou durante a estação chuvosa que provê terra fértil que sistemas de irrigação complexos fizeram fértil para colheitas crescentes. Saber quando a estação chuvosa estava a ponto de chegar era vital e o estudo de astronomia desenvolveu para prover informação de calendário. A área grande coberta pela nação egípcia requereu administração complexa, um sistema de impostos, e exércitos tiveram que ser apoiados. Como a sociedade ficou mais complexa, registros exigiram ser mantidos, e computações feitas como as pessoas permutaram os bens deles/delas. Uma necessidade por contar surgiu, enquanto escrevendo então e foram precisados numeral registrar transações.
Antes das 3000 AC os egípcios já tinham desenvolvido a escritura hieroglífica deles/delas (veja nosso artigo numeral egípcios para um pouco mais detalhes). Isto marca o começo do período de Reino Velho durante o qual as pirâmides foram construídas. Por exemplo a Grande Pirâmide a Giza foi construída 2650 ao redor AC e é um feito notável de criar. Isto provê o mais claro de indicações que a sociedade daquele período tinha alcançado um nível alto de realização.
Hieróglifos por escrever e contar deram modo a um manuscrito hierático para escritura e numeral. Detalhes dos numeral eles são determinados em nosso artigo numeral egípcios. Aqui nós nos preocupamos com os métodos aritméticos que eles inventaram para trabalhar com estes numeral
Os sistemas de número egípcios não foram vestidos bem para cálculos aritméticos. Nós ainda somos hoje familiar com numeral romanos e assim é fácil entender que embora adição de numeral romanos é bastante satisfatória, multiplicação e divisão são essencialmente impossíveis. O sistema egípcio teve desvantagens semelhantes a isso de numeral romanos. Porém, os egípcios eram muito práticos na aproximação deles/delas para matemática e o comércio deles/delas requeridos que eles pudessem negociar em frações. Comércio também exigiu para multiplicação e para divisão ser possível assim eles inventaram métodos notáveis para superar as deficiências nos sistemas de número com que eles tiveram que trabalhar. Basicamente eles tiveram que inventar métodos de multiplicação e divisão que só adição envolvida.
Podem ser achados numeral hieroglíficos cedo em templos, monumentos de pedra e vasos. Eles dão pequeno conhecimento sobre qualquer cálculo matemático que poderia ter sido terminado com os sistemas de número. Enquanto estes hieróglifos estavam sendo esculpidos em pedra havia nenhuma necessidade para desenvolver símbolos que poderiam ser escritos mais depressa. Porém, uma vez os egípcios começaram a usar folhas aplainadas da cana de papiro secada como" papel" e a gorjeta de uma cana como uma" caneta" havia razão para desenvolver meios mais rápidos de escrever. Isto incitou o desenvolvimento de escritura hierática e numeral.
Deveria ter havido um número grande de papyri, muitos procedimento com matemática em uma forma ou outro, mas tristemente desde que o material é bastante frágil quase tudo pereceu. É notável que quaisquer sobreviveram nada, e que eles têm é uma conseqüência das condições climáticas secas no Egito. Dois documentos matemáticos principais sobrevivem.
Você pode ver um exemplo de matemática egípcia escrito no papiro de Rhind e outro papiro, o papiro de Moscou, com uma tradução em manuscrito hierático. É destes dois documentos que a maioria de nosso conhecimento de matemática egípcia vem e a maioria da informação matemática neste artigo é levado destes dois documentos antigos.
Aqui é o papiro de Rhind
O papiro de Rhind é nomeado depois do Egyptologist escocês UM Henry Rhind que comprou isto em Luxor em 1858. O papiro, um rolo de papel sobre 6 metros longo e 1/3 de um metro largo, foi escrito 1650 ao redor AC pelo escriturário Ahmes que estados que ele está copiando um documento que tem 200 anos. O papiro original no qual o papiro de Rhind é então baseado datas de aproximadamente 1850 AC.
Aqui é o papiro de Moscou
O papiro de Moscou também data deste tempo. Está se tornando mais agora comum a chamada o papiro de Rhind depois de Ahmes em lugar de Rhind desde que parece muito mais justo nomear isto depois do escriturário que depois do homem que comprou isto comparativamente recentemente. O mesmo não é porém possível para o papiro de Moscou, desde tristemente o escriturário que escreveu este documento não registrou o nome dele. É chamado freqüentemente o papiro de Golenischev depois do homem que comprou isto. O papiro de Moscou está agora no Museu de Belas artes em Moscou, enquanto o papiro de Rhind está no Museu britânico em Londres.
O papiro de Rhind contém oitenta-sete problemas enquanto o papiro de Moscou contiver vinte e cinco. Os problemas são principalmente práticos mas são posados alguns para ensinar manipulação do próprio sistema de número sem uma aplicação prática em mente. Por exemplo os primeiros seis problemas do papiro de Rhind perguntam como dividir pães de n entre 10 homens onde n =1 para Problema 1, n = 2 para Problema 2, n = 6 para Problema 3, n = 7 para Problema 4, n = 8 para Problema 5, e n = 9 para Problema 6. Claramente frações são envolvidas aqui e, na realidade, 81 dos 87 problemas dados envolvem operando com frações. Subindo, em [37], discute estes problemas de divisão justa de pães que eram particularmente importante no desenvolvimento de matemática egípcia.
Alguns problemas pedem a solução de uma equação. Por exemplo Problema 26: uma quantidade acrescentada a um quarto daquela quantidade se torna 15. O que é a quantidade? Outros problemas envolvem séries geométricas como Problema 64: divida 10 hekats de cevada entre 10 homens de forma que cada adquire 1/8 de um hekat mais que o um antes. Alguns problemas envolvem geometria. Por exemplo Problema 50: um redondo campo tem diâmetro 9 khet. O que é sua área? O papiro de Moscou também contém problemas geométricos.
Ao contrário os gregos que pensaram abstractly em idéias matemáticas, os egípcios só se preocuparam com aritmética prática. A maioria dos historiadores acredita que os egípcios não pensaram em números como quantidades abstratas mas sempre pensamento de uma coleção específica de 8 objetos quando foram mencionados 8. Superar as deficiências do sistema deles/delas de numeral os egípcios inventaram modos espertos arredondam o fato que os números deles/delas foram vestidos pobremente para multiplicação como é mostrado no papiro de Rhind.
Nós examinamos a matemática contida no papyri egípcio em uma Matemática de artigo separada em Papyri egípcio em detalhes. Neste artigo nós próximo examine algumas reivindicações que consideram constantes matemáticas usadas na construção das pirâmides, em particular a Grande Pirâmide a Giza que, como nós notamos acima, foi construído 2650 ao redor AC.
J oseph [8] e muitos outros autores dão algumas das medidas da Grande Pirâmide que faz algumas pessoas acreditam que foi construído com certas constantes matemáticas em mente. O ângulo entre a base e um das faces é 51 50' 35." A secante deste ângulo é 1.61806 que está notavelmente perto da relação 1.618034 dourada. Não que qualquer um acredita que os egípcios conheceram a função de secante, mas é claro que só a relação da altura da face se inclinando para meio o comprimento do lado da base quadrada. Por outro lado a co-tangente do ângulo de declive de 51 50' 35" são muito perto de? /4. Novamente claro que ninguém acredita que os egípcios tinham inventado a co-tangente, mas novamente é a relação dos lados que isto é acreditado foram feitos ajustar este número. Agora o leitor observante terá percebido isso deve haver algum tipo de relação entre a relação dourada e? para estas duas reivindicações para ambos seja pelo menos numerically preciso. Na realidade há uma coincidência numérica: a raiz quadrada dos tempos de relação dourados? está perto de 4, na realidade este produto 3.996168 são.
Em [38] Pisco-de-peito-ruivos discutem contra ambos a relação dourada ou? sendo deliberadamente envolvido na construção da pirâmide. Ele reivindica que a relação da elevação vertical para a distância horizontal foi escolhida 5 1/2 a 7 e o fato para ser que (11/14) 4 = 3.1428 e é perto de? é nada além de uma coincidência. Semelhantemente reivindicações de Pisco-de-peito-ruivos o modo no que a relação dourada entra também é simplesmente uma coincidência. Reivindicações de pisco-de-peito-ruivos que foram feitas certas construções de forma que o triângulo que foi formado pela base, altura e altura de declive da pirâmide foi uns 3, 4, 5 triângulo. Certamente pareceria mais provável que os engenheiros usariam conhecimento matemático para construir ângulos certos que que eles embutiriam relações conectadas com a relação dourada e?.
Finalmente nós examinamos alguns detalhes do calendário egípcio antigo. Como nós mencionamos acima, era importante os egípcios saberem quando o Nilo inundaria e assim isto requereu cálculos de calendário. O começo do ano era escolhido como o heliacal que sobe de Sirius, a estrela mais luminosa no céu. O heliacal subir vem o primeiro aparecimento da estrela depois do período quando também estiver perto do sol a ser visto. Para Sirius isto acontece em julho e isto foi levado para ser o começo do ano. O Nilo inundou logo após isto assim era um começo natural durante o ano. O heliacal que sobem de Sirius diriam para as pessoas que preparassem para as inundações. O ano foi computado para ser 365 dias longo e isto era certamente conhecido antes das 2776 AC e este valor era usado para um calendário civil para datas gravadoras. Depois um valor mais preciso de 365 1/4 dias foi trabalhado fora para o comprimento do ano mas o calendário civil nunca foi mudado para levar em conta isto. Na realidade dois calendários correram dentro paralelo, o que era usado para propósitos práticos de semear de colheitas, enquanto colhendo colheitas etc. estando baseado no mês lunar. Eventualmente o ano civil foi dividido em 12 meses, com um 5 dia período extra ao término do ano. O calendário egípcio, embora mudou muito com o passar do tempo, era a base para os calendários Juliano e gregorianos.
Tópico de história: Uma avaliação de matemática babilônica
Os babilônico moraram em Mesopotâmia, uma planície fértil entre o Tigris e rios de Eufrates.
Aqui é um mapa da região onde o civilisation floresceram.
A região tinha sido o centro do civilisation de Sumerian que floresceu antes das 3500 AC. Este era um civilisation avançado construindo cidades e apoiando as pessoas com sistemas de irrigação, um sistema jurídico, administração, e até mesmo um serviço postal. Escrevendo desenvolveram e contar era baseado em um sistema de sexagesimal, quer dizer base 60. Ao redor 2300 AC o Akkadians invadiu a área e durante algum tempo a cultura mais para trás do Akkadians misturou com a cultura mais avançada do Sumerians. O Akkadians inventou o ábaco como uma ferramenta por contar e eles desenvolveram métodos um pouco desajeitados de aritmética com adição, subtração, multiplicação e divisão tudo fazendo um papel. Porém, o Sumerians se revoltou contra Akkadian reja e antes das 2100 AC eles estavam de volta em controle.
Porém o civilisation babilônico cuja matemática é o assunto deste artigo, substituiu isso do Sumerians de ao redor 2000 AC Os babilônico eram umas pessoas de Semitic que invadiram Mesopotâmia que derrota o Sumerians e antes das aproximadamente 1900 AC estabelecendo o capital deles/delas na Babilônia.
O Sumerians tinha desenvolvido uma forma abstrata de escrever baseado em cuneiform (i.e. cunha-amoldado) símbolos. Os símbolos deles/delas foram escritos em tabletes de barro molhadas que foram assadas no sol quente e muitos milhares destas tabletes sobreviveu a este dia. Era o uso de um estilo em um médio de barro que conduziu ao uso de símbolos de cuneiform desde que não pudessem ser desenhadas linhas curvadas. Os babilônico posteriores adotaram o mesmo estilo de cuneiform que escreve em tabletes de barro.
Aqui é um das tabletes deles/delas
Muitos dos tópicos de preocupação de tabletes que, embora não contendo matemática funda, não obstante é fascinante. Por exemplo nós mencionamos sobre os sistemas de irrigação do civilisations cedo na Mesopotâmia. Estes são discutidos dentro [40] onde Muroi escreve: -
Era uma tarefa importante para as regras de Mesopotâmia cavarem canais e os manter, porque canais não só eram necessários para irrigação mas também útil para o transporte de bens e exércitos. As regras ou funcionários do governo altos devem ter ordenado que os matemáticos babilônicos calculem o número de trabalhadores e dias necessário para o edifício de um canal, e calcular as despesas totais de salários dos trabalhadores.
Há vários babilônico Velho textos matemáticos nos quais várias quantidades relativo ao cavar de um canal são perguntadas para. Eles são YBC 4666, 7164, e BARRIL 7528 tudo dos quais são escritos em Sumerian..., e YBC 9874 e BM 85196, Não. 15, são escritos que em Akkadian... . Do ponto de vista matemático estes problemas são comparativamente simples...
Os babilônico tiveram um sistema de número avançado, de alguns modos mais avançado que nossos sistemas presentes. Era um sistema de positional com uma base de 60 em lugar de o sistema com base 10 em uso difundido hoje. Para mais detalhes dos numeral babilônicos, e também uma discussão sobre as teorias por que eles usaram base 60, veja nosso artigo em numeral babilônicos.
Os babilônico dividiram o dia em 24 horas, cada hora em 60 atas, cada minucioso em 60 segundos. Esta forma de contar sobreviveu durante 4000 anos. Escrever 5h 25' 30", i.e. 5 horas, 25 atas, 30 segundos, só são escrever o sexagesimal fracione, 5 25/60 30/3600. Nós adotamos a anotação 5; 25, 30 para este sexagesimal numeram, para mais detalhes relativo a esta anotação veja nosso artigo em numeral babilônicos. Como uma 10 fração básica o sexagesimal numeram 5; 25, 30 são 5 4/10 2/100 5/1000 que é escrito como 5.425 em notação decimal.
Talvez o aspecto mais surpreendente do babilônico está calculando habilidades era a construção deles/delas de mesas para ajudar cálculo. Duas tabletes acharam a Senkerah no Eufrates em 1854 data de 2000 AC. Eles dão quadrados dos números até 59 e cubos dos números até 32. A mesa dá 82 = 1,4 que que representa
82 = 1, 4 = 1 
60 + 4 = 64
e assim por diante até 592 = 58, 1 (= 58 60 +1 = 3481).
Os babilônico usaram a fórmula
ab = [(um + b)2 - a2 - b2]/2
fazer multiplicação mais fácil. Até melhor é a fórmula deles/delas
ab = [(um + b)2 - (um - b)2]/4
quais espetáculos que uma mesa de quadrados é tudo aquilo que é necessário multiplicar números, enquanto levando a diferença dos dois quadrados que foram observados na mesa que leva um quarto da resposta então simplesmente.
Divisão é um processo mais duro. Os babilônico não tiveram um algoritmo para divisão longa. Ao invés eles fundaram o método deles/delas no fato que
a/b = um (1/b)
assim tudo aquilo era necessário era uma mesa de reciprocals. Nós ainda temos as mesas recíprocas deles/delas subindo o reciprocals de números até vários bilhão. Claro que estas mesas são escritas nos numeral deles/delas, mas usando a anotação de sexagesimal nós introduzimos acima, o começo de um das mesas deles/delas olharia como:
2 0; 30
3 0; 20
4 0; 15
5 0; 12
6 0; 10
8 0; 7, 30
9 0; 6, 40
10 0; 6
12 0; 5
15 0; 4
16 0; 3, 45
18 0; 3, 20
20 0; 3
24 0; 2, 30
25 0; 2, 24
27 0; 2, 13, 20
Agora a mesa teve aberturas nisto desde 1/7, 1/11, 1/13, etc. não é nenhuma base finita 60 frações. Isto não significou que os babilônico não pudessem computar 1/13, diga. Eles escreveriam
1/13 = 7/91 = 7 (1/91) = (approx) 7 (1/90)
e estes valores, por exemplo 1/90, eram determinados nas mesas deles/delas. Na realidade há olhar rápido fascinantes dos babilônico que vêm a condições com o fato que divisão antes das 7 conduziria a uma fração de sexagesimal infinita. Um escriturário daria um número perto de 1/7 e então escreveria declarações como (veja por exemplo [5]): -
... uma aproximação é determinada desde que 7 não dividem.
Matemáticas babilônicas foram além longe cálculos aritméticos. Em nosso artigo no teorema de Pythagoras em matemática babilônica nós examinamos algumas das idéias geométricas deles/delas e também algumas idéias básicas em teoria de número. Neste artigo nós examinamos alguma álgebra que os babilônico desenvolveram, particularmente problemas que conduziram a equações e a solução deles/delas, agora.
Nós notamos acima que os babilônico eram afamados como constructors de mesas. Agora estes poderiam ser usados para resolver equações. Por exemplo eles construíram mesas para n3 + n2 então, com a ajuda destas mesas, poderiam ser resolvidas certas equações cúbicas. Por exemplo, considere a equação
ax3 + bx2 = c.
Nos deixe dar ênfase a imediatamente que nós estamos usando anotação moderna e nada como uma representação simbólica existiu em tempos babilônicos. Não obstante os babilônico poderiam controlar exemplos numéricos de tais equações usando regras que indicam que eles tiveram o conceito de um problema típico de um determinado tipo e um método típico para resolver isto. Por exemplo no anterior caso eles vão (em nossa anotação) multiplique a equação através de a2 e divida através de b3 adquirir
(ax/b)3 + (ax/b)2 = ca2/b3.
Y pondo = ax/b que isto dá para a equação
y3 + y2 = ca2/b3
que poderia ser resolvido agora observando o n3 + mesa de n2 para o valor de n que satisfaz n3 + n2 = ca2/b3. Quando uma solução foi achada então para y que x foi achado por x = by/a. Nós damos ênfase a novamente que tudo isso era terminado sem notação algébrica e mostrou uma profundidade notável de entender.
Novamente uma mesa teria sido observada resolva o machado de equação linear = b. Eles consultariam a 1/n mesa para achar 1/a e então multiplicar o sexagesimal numere dado na mesa por b. Um exemplo de um problema deste tipo é o seguinte.
Suponha, escreve para um escriturário, são levados 2/3 de 2/3 de uma certa quantidade de cevada, são somadas 100 unidades de cevada e a quantidade original recuperou. O problema posado pelo escriturário é achar a quantidade de cevada. A solução dada pelo escriturário é computar 0; 40 cronometram 0; 40 adquirir 0; 26, 40. Subtraia isto de 1; 00 adquirir 0; 33, 20. Observe o recíproco de 0; 33, 20 em uma mesa adquirir 1;48. Multiplique 1;48 antes das 1,40 adquirir a resposta 3,0.
Não é aquele fácil entender estes cálculos pelo escriturário a menos que nós os traduzamos em notação algébrica moderna. Nós temos que resolver
2/3 2/3 x + 100 = x
que é, como soube o escriturário, equivalente a resolver (1 - 4/9)x = 100. Isto é por que o escriturário computou que 2/3 2/3 subtraíram a resposta de 1 adquirir (1 - 4/9), então observou 1/(1 - 4/9) e assim x foi achado de 1/(1 - 4/9) multiplicou antes das 100 dando 180 (que é 1; 48 cronometram 1, 40 adquirir 3, 0 em sexagesimal).
Resolver uma equação quadrática os babilônico essencialmente usado a fórmula standard. Eles consideraram dois tipos de equação quadrática, isto é,
x2 + bx = c e x2 - bx = c
onde aqui b, c seja positivo mas não necessariamente inteirezas. A forma que as soluções deles/delas levaram era, respectivamente
x = [(b/2)2 + c] - (b/2) e x = [(b/2)2 + c] + (b/2).
Note que em cada caso esta é a raiz positiva das duas raízes do quadrático e o que fará sentido resolvendo" reais" problemas. Por exemplo problemas que conduziram freqüentemente os babilônico a equações deste tipo interessaram a área de um retângulo. Por exemplo se a área é determinada e a quantia pela qual o comprimento excede a amplitude é determinada, então a amplitude satisfaz uma equação quadrática e então eles aplicariam a primeira versão da fórmula acima.
Um problema em uma tablete de estados de tempos babilônicos Velhos que a área de um retângulo é 1, 0 e seu comprimento excede sua amplitude antes das 7. A equação
x2 + 7x = 1, 0,
é, claro que, não dado pelo escriturário que acha a resposta como segue. Compute a metade de 7, isto é 3; 30, quadrado isto para adquirir 12; 15. Para este o escriturário soma 1, 0 adquirir 1; 12, 15. Leve sua raiz quadrada (de uma mesa de quadrados) adquirir 8; 30. Disto subtraem 3; 30 dar a resposta 5 para a amplitude do triângulo. Note que o escriturário resolveu uma equação do x2 de tipo efetivamente + bx = c usando x = [(b/2)2 + c] - (b/2).
Em [10] Berriman dá 13 exemplos típicos de problemas que conduzem a equações quadráticas levados de tabletes babilônicas Velhas.
Se problemas que envolvem a área de dianteira de retângulos a equações quadráticas, então problemas que envolvem o volume de escavação retangular (um" porão") conduza a equações cúbicas. A tablete de barro BM 85200+ que contém 36 problemas deste tipo, é a tentativa conhecida mais cedo para montar e resolver equações cúbicas. Hoyrup discute esta tablete fascinante dentro [26]. Claro que os babilônico não alcançaram uma fórmula geral por resolver cubics. Isto não seria achado durante bem mais de três mil anos.
Artigo por: o J J O'Connor e E F Robertson
2000 de dezembro
História de MacTutor de Matemática [https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html]
Tópico de história: Uma avaliação de matemática índia
É sem duvida que matemática hoje deva uma dívida enorme às contribuições excelentes feitas por matemáticos índios em cima de muitas centenas de anos. O que é bastante surpreendente é isso houve uma relutância para reconhecer isto e a pessoa tem que concluir aqueles muitos historiadores famosos de matemática achados o que eles esperaram achar, ou talvez até mesmo o que eles esperaram achar, em lugar de perceber o que estava tão claro em frente a eles.
Nós examinaremos as contribuições de matemática índia neste artigo, mas antes de olhar para esta contribuição em mais detalhe deveríamos dizer nós claramente que a" dívida enorme" é o sistema de número bonito inventado pelos índios nos quais muito de desenvolvimento matemático descansou. Laplace pôs isto com grande claridade: -
O método engenhoso de expressar todo possível número que usa um jogo de dez símbolos (cada símbolo que tem um valor de lugar e um valor absoluto) emergiu na Índia. A idéia parece tão simples hoje em dia que sua significação e importância profunda já não é apreciada. Sua simplicidade mente do modo facilitou cálculo e colocou aritmética dianteiro entre invenções úteis. a importância desta invenção é apreciada mais prontamente quando a pessoa considerar que estava além dos dois maiores homens de Antiguidade, Archimedes e Apollonius.
Nós olharemos brevemente depois para o desenvolvimento índio do sistema decimal de lugar-valor de números neste artigo e em um pouco mais detalhe no artigo separado numeral índios. Primeiro porém, nós voltamos para a primeira evidência de matemática que desenvolve na Índia.
Histórias de matemática índia começavam descrevendo a geometria contida no Sulbasutras mas pesquisavam na história de matemática índia mostrou que os essenciais desta geometria eram mais velhos sendo contido nas construções de altar descreveu no texto de mitologia Védico o Shatapatha Brahmana e o Taittiriya Samhita. Para isto também foi mostrado que o estudo de astronomia matemática na Índia volta para pelo menos o terceiro milênio AC e matemática e geometria devem ter existido para apoiar este estudo nestes tempos antigos.
As primeiras matemáticas que nós descreveremos neste artigo desenvolveram no vale de Indus. A cultura de índio urbana conhecida mais cedo foi identificada primeiro em 1921 a Harappa no Punjab e então, um ano depois, a Mohenjo-daro, se aproxime o Rio de Indus no Sindh. Ambos estes locais estão agora no Paquistão mas isto ainda está coberto por nosso termo" matemática índia" que, neste artigo, recorre a matemática desenvolvida no subcontinente índio. O civilisation de Indus (ou civilisation de Harappan como às vezes é conhecido) era baseado nestes duas cidades e também em mais de cem cidades pequenas e aldeias. Era um civilisation que começou 2500 ao redor AC e sobreviveu até as 1700 AC ou depois. As pessoas eram alfabetizadas e usadas um manuscrito escrito que contém 500 caráter que alguns reivindicaram ter decifrado ao redor mas, sendo longe de clareiam que este é o caso, muita pesquisa permanece ser feita antes de uma avaliação cheia das realizações matemáticas deste civilisation antigo pode ser avaliado completamente.
Nós pensamos freqüentemente em egípcios e babilônico como sendo a altura de civilisation e de habilidades matemáticas ao redor do período do civilisation de Indus, contudo V G Childe em Luz Nova no Leste mais Antigo (1952) escreveu: -
Índia confronta o Egito e Babilônia antes do 3º milênio com um civilisation completamente individual e independente dela próprio, tecnicamente o semelhante do resto. E claramente está profundamente arraigado em terra índia. O civilisation de Indus representa um ajuste muito perfeito de vida humana a um ambiente específico. E suportou; já é especificamente o índio e formas a base de cultura índia moderna.
Nós sabemos que o Harappans tinha adotado um sistema uniforme de pesos e medida. Uma análise dos pesos descoberta sugere que eles pertençam a duas séries ambos ser decimal em natureza com cada número decimal multiplicado e dividiu antes das duas, enquanto dando para as relações de séries principais de 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, e 500. Também foram descobertas várias balanças para a medida de comprimento durante escavações. A pessoa era uma balança decimal baseado em uma unidade de medida de 1.32 polegadas (3.35 centímetros) que foi chamado a" "polegada de Indus. Claro que dez unidades são então 13.2 polegadas que são bastante acreditável como a medida de um" pé." Uma medida semelhante baseado no comprimento de um pé está presente em outras partes de Ásia e além. Outra balança foi descoberta quando uma vara de bronze foi achada que era marcado em comprimentos de 0.367 polegadas. É certamente surpreendente a precisão com que estas balanças são marcadas. Agora 100 unidades desta medida são 36.7 polegadas que são a medida de um passo largo. Medidas das ruínas dos edifícios que foram escavados espetáculo que estas unidades de comprimento eram exatamente usadas pelo Harappans em construção.
Está exatamente obscuro o que causou o declínio no civilisation de Harappan. Historiadores sugestionaram quatro possíveis causas: uma mudança em padrões climáticos e uma crise agrícola conseqüente; um desastre climático tal inundação ou seca severa; doença esparramada por epidemia; ou a invasão de Indo-arianos peoples do norte. A teoria de favourite era o último dos quatro, mas recentes opiniões favour um do primeiro três. O que é certamente verdade é que eventualmente os Indo-arianos peoples do norte esparramaram em cima da região. Isto nos traz ao registro literário mais cedo de cultura índia, o Vedas que estava composto em Sanskrit Védico, entre 1500 AC e 800 AC. No princípio estes textos, enquanto consistindo em hinos, feitiços, e observações rituais, foi transmitido oralmente. Depois os textos foram escritos trabalhos para uso desses que pratica a religião Védica.
A próxima matemática de importância no subcontinente índio era associada com estes textos religiosos. Consistiu no Sulbasutras que era apêndices ao Vedas que dá regras por construir altares. Eles contiveram uma real quantia de conhecimento geométrico, mas a matemática estava sendo desenvolvida, não para sua própria causa, mas puramente para propósitos religiosos práticos. As matemáticas contiveram dentro o estes são estudados textos em algum detalhe no artigo separado no Sulbasutras.
O Sulbasutras principal esteja composto por Baudhayana (aproximadamente 800 AC), Manava (aproximadamente 750 AC), Apastamba (aproximadamente 600 AC), e Katyayana (aproximadamente 200 AC). Estes homens eram os padres e os estudantes mas eles não eram os matemáticos no senso moderno. Embora nós não temos nenhuma informação sobre estes homens diferente de os textos que eles escreveram, nós os incluímos em nossas biografias de matemáticos. Há outro estudante que novamente não era um matemático no senso habitual que viveu ao redor deste período. Isso era Panini que alcançou resultados notáveis nos estudos dele de gramática de Sanskrit. Agora a pessoa poderia perguntar razoavelmente que gramática de Sanskrit tem que ver com matemática. Tem algo certamente que ver com informática teórica moderna, para um matemático ou cientista da computação que trabalha com teoria de idioma formal há pouco reconhecerá como moderno algumas das idéias de Panini são.
Antes do fim do período do Sulbasutras, ao redor do meio do terceiro século AC, os numeral de Brahmi tinham começado a se aparecer.
Aqui é um estilo dos numeral de Brahmi.. Estes são os numeral mais cedo que, depois de uma multidão de mudanças, eventualmente desenvolveu nos numeral 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, que 9 usaram hoje,. O desenvolvimento de numeral e lugar-avaliou são estudados sistemas de número no artigo numeral índios.
A religião Védica com seus ritos sacrificatórios começou a minguar e outras religiões começaram a substituir isto. Um destes era Jainism, uma religião e filosofia que foram fundadas na Índia ao redor do 6º século AC. Embora o período depois do declínio da religião Védica até o tempo de Aryabhata eu ao redor 500 DC era considerado como um período escuro em matemática índia, recentemente foi reconhecido como um tempo quando foram consideradas muitas idéias matemáticas. Na realidade Aryabhata é pensado agora de como summarising os desenvolvimentos matemáticos do Jaina como também começando a próxima fase.
Os tópicos principais de matemática de Jaina em ao redor 150 AC era: a teoria de números, operações aritméticas, geometria, operações com frações, equações simples, equações cúbicas, equações de quartic, e permutações e combinações. Mais surpreendentemente o Jaina desenvolveu uma teoria dos níveis diferentes contendo infinitos de infinidade, uma compreensão primitiva de indices, e alguma noção de logaritmos para fundar 2. Um dos problemas difíceis que estão em frente de historiadores de matemática está decidindo na data do manuscrito de Bakhshali. Se este é um trabalho que realmente é de 400 DC, ou de qualquer modo uma cópia de um trabalho que foi escrito originalmente neste momento, então nossa compreensão das realizações de matemática de Jaina grandemente será aumentada. Enquanto há incerteza tanto em cima da data, um tópico discutiu completamente em nosso artigo no manuscrito de Bakhshali, então nós deveríamos evitar reescrever a história do período de Jaina na luz da matemática conteve neste documento notável.
Se a religião Védica desse origem a um estudo de matemática por construir altares sacrificatórios, então era cosmologia de Jaina que conduziu a idéias do infinito em matemática de Jaina. Avanços matemáticos posteriores foram dirigidos freqüentemente pelo estudo de astronomia. Bem talvez seria mais preciso dizer que astrologia formou a força motriz desde que era aquela" ciência" que requereu informação precisa sobre os planetas e outros corpos celestes e assim encorajou o desenvolvimento de matemática. Religião também feita um papel principal em investigações astronômicas na Índia para calendários precisos teve que estar preparado para permitir observâncias religiosas para acontecer nos momentos corretos. Matemática era então ainda uma ciência aplicada na Índia durante muitos séculos com matemáticos métodos em desenvolvimento resolver problemas práticos.
Yavanesvara, no segundo século DC, fez um papel importante em astrologia de popularising quando ele traduziu um texto de astrologia grego que data de 120 AC. Se ele tivesse feito uma tradução literal que é duvidoso se teria sido de interesse a mais de alguns pessoas academicamente notadas. Porém, ele popularizou o texto através de resetting o trabalho inteiro em cultura de índio que usa imagens hindus com o sistema de casta índio integrada no texto dele.
Antes das aproximadamente 500 DC a era clássica de matemática índia começou com o trabalho de Aryabhata. O trabalho dele era ambos um resumo de matemática de Jaina e o começo de era nova para astronomia e matemática. As idéias dele de astronomia eram verdadeiramente notáveis. Ele substituiu os dois demônios Rahu, o Dhruva Rahu que causa as fases da Lua e o Parva Rahu que causam uma eclipse cobrindo a Lua ou Sol ou a luz deles/delas, com uma teoria moderna de eclipses. Ele introduziu trigonometria em ordem fazer os cálculos astronômicos dele, baseado na teoria de epicycle grega, e ele resolveu com soluções de inteireza equações indeterminadas que surgiram em teorias astronômicas.
Aryabhata foi um centro de pesquisa a matemática e astronomia a Kusumapura no nordeste do subcontinente índio. Lá um estudando escolar as idéias dele cresceram lá em cima mas mais que que, Aryabhata fixou a ordem do dia para pesquisa matemática e astronômica na Índia durante muitos séculos vir. Outro centro matemático e astronômico estava a Ujjain, também no norte do subcontinente índio que cresceu ao redor do mesmo tempo como Kusumapura. O mais importante dos matemáticos a este segundo centro era Varahamihira que também fez contribuições importantes a astronomia e trigonometria.
As idéias principais de matemática de Jaina, particularmente esses relativo a sua cosmologia com sua paixão para números finitos grandes e números infinitos, continuou florescendo com estudantes como Yativrsabha. Ele era um contemporâneo de Varahamihira e do Aryabhata ligeiramente mais velho. Nós também deveríamos notar que as duas escolas a Kusumapura e Ujjain eram envolvidas nos desenvolvimentos continuando dos numeral e de sistemas de número lugar-avaliados. A próxima figura de importância principal na escola de Ujjain era Brahmagupta perto do começo do sétimo século DC e ele faria um das contribuições mais principais ao desenvolvimento dos sistemas de números com as contribuições notáveis dele em números de negativo e zero. É um ficando sóbrio pensado que oitocentos anos matemáticas européias posteriores estariam lutando para contender sem o uso de números negativos e de zero.
Estes não eram certamente Brahmagupta só contribuições para matemática. Longe disto porque ele fez outras contribuições principais dentro para a compreensão de soluções de inteireza para equações indeterminadas e a fórmulas de interpolação inventaram ajudar a computação de mesas de seno.
O modo que as contribuições destes matemáticos foram incitadas por um estudo de métodos em astronomia esférica é descrito dentro [25]: -
Os astrônomos hindus não possuíram um método geral por resolver problemas em astronomia esférica, distinto os gregos que sistematicamente seguiram o método de Ptolomeu, baseado no teorema famoso de Menelaus. Mas, por meio de construções satisfatórias dentro da esfera de armillary, eles puderam reduzir muitos dos problemas deles/delas a comparação de triângulos planos direito-pescados semelhantes. Além deste dispositivo, eles usaram às vezes também a teoria de equações quadráticas, ou aplicado o método de aproximações sucessivas. ... Dos métodos ensinados por Aryabhata e se manifestou pelo scholiast dele Bhaskara eu, alguns estão baseado em comparação de triângulos planos direito-pescados semelhantes, e outros são derivados de conclusão. Brahmagupta provavelmente é o astrônomo mais cedo ter empregado a teoria de equações quadráticas e o método de aproximações sucessivas a resolver problemas em astronomia esférica.
Antes de continuar descrevendo os desenvolvimentos pelo período clássico nós deveríamos explicar os mecanismos que permitiram matemática para florescer na Índia durante estes séculos. O sistema educacional na Índia neste momento não permitiu as pessoas talentosas com habilidade para receber treinamento em matemática ou astronomia. Bastante o sistema educacional inteiro era familiar fundado. Havia várias famílias que levaram as tradições de astrologia, astronomia e matemáticas remetem educando cada geração nova da família nas habilidades que tinham sido desenvolvidas. Nós também deveríamos notar aquela astronomia e matemáticas desenvolveram no próprio deles/delas, separe para o desenvolvimento de outras áreas de conhecimento.
Agora uma" família matemática" teria uma biblioteca que conteve a escritura das gerações prévias. Estas escritas seriam provável comentários em trabalhos mais cedo como o Aryabhatiya de Aryabhata. Muitos dos comentários seriam comentários em comentários em comentários etc. Matemáticos escreveram freqüentemente comentários no próprio trabalho deles/delas. Eles não estariam apontando para prover textos ser usado educando as pessoas fora da família, nem eles estariam procurando idéias inovadoras em astronomia. Novamente religião era a chave, porque era considerado que astronomia era de origem divina e cada família permaneceria fiel às revelações do assunto como apresentado pelos deuses deles/delas. Buscar mudanças fundamentais seriam inconcebíveis para pedindo para outros aceitar tais mudanças estaria lhes pedindo essencialmente que mudassem convicção religiosa. Nem estes homens parecem ter feito observações astronômicas de qualquer modo sistemático. Alguns dos textos reivindicam que os dados computados apresentaram neles está em acordo melhor com observação que o dos antecessores deles/delas mas, apesar disto, lá não pareça ter sido um programme de observational principal montados. Paramesvara no recente décimo quarto século parece ser um dos primeiros matemáticos índios para fazer observações sistemáticas durante muitos anos.
Matemática estava porém em uma posição diferente. Era só uma ferramenta usada por fazer cálculos astronômicos. Se a pessoa pudesse produzir idéias matemáticas inovadoras então que a pessoa poderia exibir as verdades de astronomia mais facilmente. As matemáticas tiveram que conduzir às mesmas respostas então como tinha sido alcançado antes mas era certamente bom se pudesse alcançar estes mais facilmente ou com maior claridade. Isto significou isso apesar de matemática que só é usado como uma ferramenta de computational para astronomia, os estudantes índios brilhantes foram encorajados pela cultura deles/delas para pôr o gênio deles/delas em avanços neste tópico.
Um contemporâneo de Brahmagupta que encabeçou o centro de pesquisa a Ujjain era Bhaskara eu que conduziu a escola de Asmaka. Esta escola teria o estudo dos trabalhos de Aryabhata como a preocupação principal deles/delas e certamente Bhaskara era o comentarista na matemática de Aryabhata. Mais de 100 anos depois que Bhaskara vivesse o astrônomo Lalla, outro comentarista em Aryabhata.
O nono século viu progresso matemático com estudantes como Govindasvami, Mahavira, Prthudakasvami, Sankara, e Sridhara. Alguns destes como Govindasvami e Sankara eram os comentaristas no texto de Bhaskara eu enquanto Mahavira era afamado para a atualização dele do livro de Brahmagupta. Este período viu desenvolvimentos em mesas de seno, enquanto resolvendo equações, notação algébrica, quadratics, equações indeterminadas, e melhorias aos sistemas de número. A ordem do dia ainda era basicamente aquele jogo por Aryabhata e os tópicos que são desenvolvidos esses no trabalho dele.
Os matemáticos principais do décimo século na Índia eram Aryabhata II e Vijayanandi, ambos que acrescentam à compreensão de mesas de seno e trigonometria para apoiar os cálculos astronômicos deles/delas. No décimo primeiro século Sripati e Brahmadeva estavam figuras principais mas talvez o mais excelente de tudo era Bhaskara II no décimo segundo século. Ele trabalhou em álgebra, sistemas de número, e astronomia. Ele escreveu textos bonitos ilustrados com problemas matemáticos alguns dos quais nós apresentamos na biografia dele, e ele proveu o melhor resumo da matemática e astronomia do período clássico.
Bhaskara II pode ser considerado o ponto alto de matemática índia mas uma vez isto era tudo aquilo era conhecido [26]: -
Por muito tempo os estudantes Ocidentais pensaram que os índios não tinham feito trabalho original até o tempo de Bhaskara II. Isto está longe da verdade. Nem tem o crescimento de matemática índia parado com Bhaskara II. Resultados vários de matemáticos índios foram redescobertos por europeus. Por exemplo, o desenvolvimento de teoria de número, a teoria de indeterminates expressões de séries infinitas para seno, co-seno e tangente, matemática de computational, etc.
Bhaskara II seguinte havia mais de 200 anos antes de qualquer outra contribuição principal para matemática foi feito no subcontinente índio. Na realidade por muito tempo foi pensado que Bhaskara II representou o fim de desenvolvimentos matemáticos no subcontinente índio até tempos modernos. Porém pelo segundo a metade do décimo quarto século Mahendra Suri escreveu o primeiro tratado índio no astrolábio e Narayana escreveu um comentário importante em Bhaskara II, enquanto fazendo contribuições importantes a álgebra e quadrados de magia. A contribuição mais notável deste período, porém, estava por Madhava que inventou séries de Alfaiate e análise matemática rigorosa em algumas contribuições inspiradas. Madhava estava lá de Kerala e o trabalho dele inspirado uma escola de seguidores como Nilakantha e Jyesthadeva.
Algumas das descobertas notáveis dos matemáticos de Kerala são descritos dentro [26]. Estes incluem: uma fórmula para o ecliptic; o Newton-Gauss fórmula de interpolação; a fórmula para a soma de umas séries infinitas; a fórmula de Lhuilier para o circumradius de um cíclico quadrilátero. De interesse particular a aproximação para o valor é de? o qual foi o primeiro em ser feito usando umas séries. O resultado de Madhava para o qual deu umas séries?, traduziu no idioma de matemática moderna, lê
? R = 4R - 4R/3 + 4R/5 -...
Esta fórmula, como também vários outros se referiram para acima, foi redescoberto depois por matemáticos europeus vários séculos. Madhava também deu outras fórmulas para?, um do qual conduz à aproximação 3.14159265359.
A primeira pessoa em tempos modernos para perceber que os matemáticos de Kerala tinham se antecipado alguns dos resultados dos europeus no cálculo antes de quase 300 anos era Charles Whish em 1835. A publicação de Whish nas Transações da Sociedade Asiática Real de Grã Bretanha e Irlanda era essencialmente desadvertida por historiadores de matemática. Só 100 anos fizeram depois nos anos quarenta em detalhes os historiadores de olhar de matemática nos trabalhos dos matemáticos de Kerala e achado que as reivindicações notáveis fizeram por Whish era essencialmente verdade. Veja por exemplo [15]. Realmente os matemáticos de Kerala tiveram, como escreveu Whish: -
... posto a fundação para um sistema completo de fluxions...
e estes trabalhos: -
... abunde com formas de fluxional e séries ser achado em nenhum trabalho de países estrangeiros.
Havia outros avanços principais em Kerala a ao redor deste tempo. Citrabhanu foi uns décimos sextos matemáticos de século de Kerala que deu soluções de inteireza a vinte e um tipos de sistemas de duas equações algébricas. Estes tipos são todos os possíveis pares de equações do seguinte sete formas:
x + y = um, x - y = b, xy = c, x2 + y2 = d, x2 - y2 = e, x3 + y3 = f, e x3 - y3 = g.
Para cada caso, Citrabhanu deu uma explicação e justificação da regra dele como também um exemplo. Algumas das explicações dele são algébricos, enquanto outros são geométricos. Veja [12] para mais detalhes.
Agora nós apresentamos a parte posterior da história de matemática índia de um modo improvável. Que não haveria nenhum progresso essencialmente entre as contribuições de Bhaskara II e as inovações de Madhava que era mais inovador que qualquer outro matemático índio que produz uma perspectiva totalmente nova em matemática, parece improvável. Muito é mais provável que nós somos desavisados das contribuições modificadas este 200 período de ano que deve ter provido as fundações nas quais Madhava construiu as teorias dele.
Nossa compreensão das contribuições de matemáticos índios mudou notadamente durante as últimas décadas. Muito mais trabalho precisa ser feito para avançar nossa compreensão das contribuições de matemáticos cujo trabalho esteve tristemente perdido, ou talvez até pior, sido ignorado. Realmente trabalho está sendo empreendido agora e nós deveríamos ter um entendendo melhor desta parte importante da história de matemática logo.
Artigo por: o J J O'Connor e E F Robertson
2000 de novembro
História de MacTutor de Matemática
[https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html]