História e Educação Matemática

HISTÓRIA E EDUCAÇÃO DE MATEMÁTICA: UM OLHAR AO REDOR DO MUNDO COM REFERÊNCIA PARTICULAR PARA A ITÁLIA

Fulvia Furinghetti

Departamento de Matemática da universidade na Genoa

INTRODUCTION

A idéia de considerar história de matemática em relação a educação de matemática não é nova. Nesta preocupação Fritada (2001) menciona o papel por Barwell (1913), mas evidência desta relação é até mais velha, veja (Cajori, 1894; Gebhardt, 1912; Heppel, 1893; Loria 1899; Zeuthen, 1902). Senhorita Barwell era os estudantes pedagógicos do Departamento de Treinamento de Alexandra College (Dublin); ela escreve que ela também tinha introduzido “um pouca da história de crescimento matemático” (p.72) a meninas envelheceram dezesseis e dezessete. Todos os outros autores estavam se referindo principalmente a professor educação 1. A partir dos 1960s estudos no assunto se tornou mais estruturado de acordo com um padrão científico; também foram considerados os alunos de níveis escolares diferentes.

Um marco na evolução deste tipo de estudos é a atividade do Grupo de Funcionamento organizada ao 1972 ICME (Exeter) em História de ‘e Pedagogia de Matemática '. O trabalho deste grupo foi continuado no seguinte 1976 ICME (Karlsruhe), e no mesmo ano o Comitê Executivo de ICMI aprovou a afiliação do Grupo de Estudo novo, debaixo do título Grupo de Estudo Internacional em História e Pedagogia de Matemática, cooperando com Comissão Internacional em Instrução 2 Matemática. No mesmo ano outro grupo de estudo permanente era fixo para cima, Grupo de Estudo Internacional para a Psicologia de Educação de Matemática (“PME”). O nascimento destes grupos provê evidência do desenvolvimento saudável de educação de matemática como uma disciplina científica. Também mostra a existência de uma variedade de fundos para educação de matemática de forma que esta disciplina está atraindo, mas também complexo e problemático.

Tendo servido durante quatro anos (2000-2004) como presidente de HPM eu colecionei uma quantia boa de informação em o que está entrando em neste campo. Em particular, eu tenho em mente os assuntos do Boletim informativo de HPM (editor Peter Ransom), o qual por este período foi publicado três vezes regularmente por ano ambos na versão de papel e no Grupo de Estudo o site da Web 3 de HPM. clarificar que história pode acontecer na sala de aula eu distingo dois temas 4:

(A) História por refletir na natureza de matemática como um processo socio-cultural.

(B) História para construir objetos matemáticos.

Fluxo (UM) inclui a idéia de história como uns meios para promover matemática na sala de aula para humanizar matemática. Fluxo (B) preocupações que o caroço dos problemas relacionou a matemática de teaching/learning. Outras divisões das razões por que os pedagogos estão interessados na história de matemática é ilustrado na literatura, veja (Frito, 2001) para um. Em geral, parece a mim que eles têm commonalties forte com meu schematization áspero.

Nos vários documentos, conferências, livros que eu entrei por nos recentes últimos anos eu agarrei tentativas para responder as perguntas seguintes:

Para um professor ou para um estudante é aconselhável para saber a história de matemática?

Se sim, quanto história a pessoa tem que saber?

E como a pessoa tem que saber história?

Eu estou atento que lidando com estas perguntas exige puxar uma distinção entre o caso de professores e que de estudantes, mas eu sinto que os assuntos básicos estão comum às duas situações. O ponto principal é que eu vejo a história de matemática como um artefato 5 que pode ser introduzido na sala de aula como um mediador no processo de teaching/learning. Verillon seguinte e Rabardel (1995) o artefato - i.e. o objeto concreto, com suas características físicas e estruturais, construído para usos específicos - se torna um “ferramenta” - i.e. incorpora suas modalidades de uso, como eles são interpretados por usuários - quando os usuários podem finalizar o uso às próprias pontarias deles/delas. Eu gosto de mostrar que lidando com história eu tento omitir a consideração de fatores afetivos como prazer pessoal lidando com história, mas eu só focalizo na relação entre este artefato e educação de matemática. Assim a pergunta central que eu considero é “o que faz o artefato (em nossa folha clínica) uma ferramenta?.”

Tentando discutir alguns assuntos elevou pelas perguntas prévias eu tenho em mente o  objeções que eu encontrei quando eu apresentei a propostas de professores de introduzir história em ensino de matemática. Estas objeções são listadas claramente por Homem-Keung Siu (se aparecer): a falta de tempo, professores ' conhecimento escasso, estudantes ' interesse pobre e assim por diante. Em uma perspectiva diferente também Fritada (2001) pontos fora problemas sérios e fundamentais no esforço de combinar educação de matemática e a história de matemática. Minha reação para Siu e objeções Fritas são que eu os considero muito realístico; o ponto perdido é que o uso da história de matemática sempre e em todos lugares não é um mediador eficiente de conhecimento matemático, mas em ‘situação conveniente'. Em o que eu chamo ‘situações convenientes ' os professores envolvido são supostos ter o preparação necessária para levar a cabo o projeto histórico. Em particular, eles têm que acreditar que a história de matemática pode ser uma ferramenta de ‘' em classes de matemática.

BACKGROUND

Escrever este papel eu considerei os estudos publicados em diários de educação de matemática, como Estudos Educacionais em Matemática, Para a Aprendizagem de Matemática, e os assuntos especiais dedicaram à história de matemática em matemática que ensina (o Professor de Matemática, Matemática na escola) publicou nos anos 1999-2003. Além disso eu examinei os estudos cuidadosamente em história, epistemology e pedagogia se apareceram na Itália no mesmo período. Como resultado de esta análise eu listei aproximadamente 50 documentos; muitos deles são authored por professores secundários. Também eu considerei algumas experiências inovadoras de matemática ensinar levadas a cabo em meu país para ver possíveis relações com assuntos históricos. Até mesmo se minha avaliação não é tão sistêmica e estruturou como que relativo a geometria apresentada dentro (Gulikers & Blom, 2001), eu pude separar fora alguns exemplos satisfatório discutir o papel da história de matemática em educação de matemática.

Eu focalizei na situação italiana por duas razões principais. O primeiro, óbvio, é que a situação italiana é o um que eu sei melhor. A segunda razão é que a tradição de começar educação de matemática um histórico ou perspectiva de epistemological está bem arraigada em Itália 6. O historiador Gino Loria era um pioneiro defendendo o uso de história matemática ensinando, especialmente em relação com professor treinar, veja (Loria, 1899). Ele seguiu a idéia - difundido nesses anos na comunidade matemática - aqueles professores de matemática precisam revisitar matemática elementar de um ponto de vista avançado. Felix Klein (1896), que merece grande consideração ambos como um matemático e como pedagogo de matemática de professores, indicou a história de matemática como uns meios eficientes para executar isto revisitando. Por esses anos (a volta do século) havia um debate ativo em como aplicar história na sala de aula. Debaixo da influência da lei de recapitulação - i.e. ontogenia recapitula filogenia - declarou pelo biólogo alemão Ernst Haeckel (1874) foi defendido que sucessões pedagógicas em matemática deveriam seguir desenvolvimento humano em matemática. Esta teoria teve sua apoteose no livro famoso por Benchara Branford (1908). Este trabalho era conhecido na Itália: na biblioteca que é o legado de Loria para a Universidade de Genoa há uma cópia da 1921 edição com a dedicação do autor para Loria. Não obstante, nem Loria nem outros autores italianos fazem referência explícita à lei de recapitulação quando eles defenderem o recurso a história em ensino de matemática.

A partir da volta do século na Itália mathematicswas escolar fortemente influenciado pelo movimento de rigor e a discussão nas fundações de matemática, como também pela subida de lógica como uma filial de matemática. Nesses anos que programas nacionais e vários livros de ensino novos foram influenciados por esta moda nova e discussões interessantes sobre os profissionais e trapaceiros de uma aproximação estritamente rigorosa matemática ensinando pode ser achado em diários de matemática para professores daquele período. Um equilíbrio bom de orientações diferentes foi alcançado por Federigo Enriques. Ele não só era um grande matemático que conduz a escola geométrica italiana, mas também um líder na discussão em educação de matemática. Ele editou um livro importante para professores Questioni riguardanti la geometria elementare (Zanichelli, Bolonha, 1900), (logo traduziu em alemão por iniciativa de Klein). Com o título Questioni riguardanti le matematiche elementari este trabalho teve muitas edições (primeiro 1912, segundo 1914, terço 1924-27) e contribuiu à cultura matemática de gerações de professores. Na aproximação dele para problemas de educação de matemática, Enriques deu ênfase a a importância de epistemology e história. Esta aproximação, junto com o interesse dele em problemas de conhecimento, já é comprovada na conversa entregue na primeira reunião internacional importante do ICMI nascido novo contida Milão (Enriques, 1911). Esta orientação de combinar história e epistemology caracteriza uma parte dos estudos italianos em educação de matemática, como mostrado dentro (Speranza & Grugnetti, 1996).

‘HUMANIZING MATEMÁTICA ' E HISTÓRIA

Muito freqüentemente a motivação declarada que apóia o uso de história matemática ensinando é o desejo para “humanize matemática.” A expressão “humanize matemática” não tem um significado claro e sua explicação não só envolve matemáticos 7, mas também os filósofos. No papel (Tymoczko, 1994) - que é entregado o texto da conversa plenária a ICME 7 (Québec) - o fato é pontudo fora isso no passado houve pequena comunicação entre o mundo de filosofia e que de matemática. Duas exceções podem ser consideradas esses de Wittgenstein (quem, realmente,

começado a carreira dele como um professor escolar) e Polya. Tymoczko (1986 e 1994) considera entre os vários aspectos que caracterizam a atividade matemática esses relativo a ensino. Ele dá perspicácias interessantes, mas a aproximação dele é afetada pelo fundo filosófico dele. Ele está fora de pesquisa em educação de matemática e não tem o sentimento do que de fato acontece na sala de aula (se eu me lembro bem que este era um das objeções feito a ele na discussão depois da intervenção dele a ICME 7).

Na conversa dele Tymoczko tentou discutir alguns enganos de filósofos primeiramente. Eles estavam errados negligenciando o real mundo como uma base de matemática, porque esta disciplina é uma parte integrante do bom senso de ‘. Matemática de ' tem significado como atividade de uma comunidade. Pura matemática vendo como a essência de matemática torceu a perspectiva filosófica nisto. Tymoczko (1994) estados que nós podemos pensar em uma civilização sem pura matemática (ele menciona os egípcios e babilônico) e assim ele inverte a visão tradicional da pergunta: ele não está interessado em investigar como de pura matemática utilitário (distinguido por ele de aplicado) matemática segue mas, bastante, como de matemática utilitária é gerada pura matemática. O ponto crucial da discussão filosófica é se objetos matemáticos existem.

Para esses que enfrentam o problema pensando em pura matemática como independente de atividades humanas a resposta é problemático; para esses que olham para matemática como uma parte de atividade humana a resposta é afirmativo (objetos matemáticos existem como cachorros, flores,… exista).

Como para o mundo de educação - o qual para Tymoczko pertence ao domínio de aplicado matemática, em contraste com o de pura matemática como pensamento por filósofos - o ponto importante para Tymoczko interessa o conceito de matemática humanística. Para a pergunta “o que fez matemáticas um dos ciências humanas?” 8 ele responde “Certamente não o mero fato que os humanos fizeram isto? Humano faz ciência também. [...] Pura matemática é matemática no final das contas humanística, um dos ciências humanas, porque é uma disciplina intelectual com uma perspectiva humana e uma história que importam. Não há nenhuma resposta à pergunta: o que é importante em matemática, uma vez para tudo? Nós podemos perguntar o que é importante em matemática para seres humanos, com determinadas habilidades e limitações a um determinado ponto no desenvolvimento matemático deles/delas” (Tymoczko, 1994, p.334) Ele reconhece que os filósofos estavam errados considerando só pura matemática, mas ao mesmo tempo ele designa a pedagogos o engano oposto de concentrar muito em matemática útil. Esta aproximação não apresenta os estudantes à disciplina matemática ou, melhor, para matemática humanística; a idéia dele é que “apresentar os estudantes a matemática humanística é os apresentar a uma aventura humana, uma aventura que os humanos participaram de fato de de história” (ibidem, p.335). Tymoczko dá um exemplo de atividade de sala de aula apontado a fazer para matemática uma disciplina humanística que é apresentar o desenvolvimento histórico de terceiras equações de grau. A idéia de Tymoczko de unir matemática humanística a história é difundida. Talvez um non declarou intenção de Tymoczko é uma interpretação do papel de história como uns meios para apresentar os estudantes a hermenêutica. Esta é outra idéia difundida: eu achei isto nas notas de apresentação do diário de matemática italiano para estudantes que Il Pitagora enviou a subscritores potenciais em 1895, veja (Furinghetti, 2000). A conversa de Tymoczko era muito estimulando mas focalizou em o que tem que ser pretendido como matemática humanística nem, ao apresentar o exemplo dele no qual mecanismos cognitivos são ativados através de história para contribuir ao processo de humanizar.

Vindo ao assunto discutiram neste papel sobre o uso de história em matemática que ensina que eu notei freqüentemente que humanizando matemática é associado com anedoctes, histórias, e vignettes. Não só os professores escolares mas também os conferencistas em escolas de diplomado e universidades usam estes dispositivos. Este fato emergiu das respostas na Lista de clientes HISTORIA MATHEMATICA para um pedido postado por um estudante doutoral que estava desenvolvendo a dissertação dele no uso e eficácia de vignettes histórico em ensino de matemática. Alguns conferencistas universitários responderam que eles introduzem atividades como anedotas reveladoras, enquanto mostrando selos que representam assuntos matemáticos, e assim por diante. As justificações deles/delas ressoam esses oferecidos por professores secundários que executam as mesmas atividades: eles confiam nos fatores afetivos que intervêm em teaching/learning principalmente processe, veja (McLeod, 1992). Em particular, as respostas mostram que os professores estão satisfeitos e sentem que eles alcançaram a pontaria deles/delas. A evidência que eles oferecem por justificar esta convicção só é normalmente baseada em sentimentos pessoais.

Um exemplo revelador de mostrar o “humanístico, ‘humano-fez ' apoiar de aritmética” (pág. 21) está dentro (Percival, 2001). Esta idéia é percebida na sala de aula unindo história de matemática e matemática isto por uma aproximação social e co-operação multicultural. O assunto matemático negociado com é aritmética elementar. Em outros documentos este assunto foi tratado por documentos antigos, mas nesta experiência nós temos uma aproximação de artefactual que parece ser extremamente satisfatório ao propósito do autor: os estudantes fazem as próprias construções deles/delas de objetos (como tabletes babilônicas) e documentos que imitam esses estudaram, e usa ancião que calcula dispositivos, embora em reconstrução moderna. Assim atividade concreta compara construção conceitual do conceito de sistemas numéricos e a manipulação deles/delas.

UMA PERGUNTA DEBATIDA: É ISTO POSSÍVEL ENSINAR A HISTÓRIA DE MATEMÁTICA DENTRO ESCOLA SECUNDÁRIA?

Na cena internacional há pequena evidência de atividades nas quais a história de matemática por se é introduzida em ensino de matemática. Objeção 1 (“eu não tenho nenhum tempo por isto em classe!”), informado por Siu (se aparecer) na lista dele, compendia as razões que estão por baixo de esta ausência. Por isto eu achei duas experiências muito interessantes levadas a cabo na Itália onde alguns elementos da história de matemática onde ensinou a estudantes secundários. Ambas as experiências foram planejadas pelos professores que os desenvolvem em classe.

A primeira experiência é descrita dentro (Testa, 2001). Estudantes de uma escola secundária italiana com orientação humanística (classico de Liceo) estava comprometido em uma investigação histórica nos assuntos seguintes: Archimedes vida de ' e morte, contribuições pelos anciões para o estudo de ótica, o pêndulo de Foucault. Lhes foram proporcionados pelo professor endereços satisfatórios de sites da Web, fontes secundárias, fontes primárias. O professor tentou encorajar que os estudantes trabalhem autonomously; ele só os guiou no surfe de Internet. Estudantes trabalharam collaboratively em grupos. Fontes secundárias (popularizando livros, tratados em história) era usado como uma sugestão por esboçar o conteúdo dos materiais produzido, mas foram encorajados que os estudantes lessem documentos histórico-científicos (principalmente algumas passagens de Plutarcus) na versão original. Este trabalho pode ser considerado um exemplo do uso da história de matemática para nutrir os estudantes aquisição de ' de competências e habilidades útil para outras disciplinas de escola, por exemplo método histórico, escrevendo narrativas, selecionando informação.

As segundas preocupações de experiência que um projeto apontou a entregar elementos da história de matemática insertos no curso de matemática a estudantes secundários. A suposição deste projeto é isso para saber que história só não é ter mera informação sobre fatos, mas bastante é ter uma armação na qual os pedaços isolados de learnt de matemática na escola adquirem um significado cultural. Eu quero dizer aquela matemática de escola é percebida freqüentemente por estudantes como um jogo de noções que são scantly unido junto: a história de matemática provê as ligações. Em princípio todos os investigadores concordam com esta suposição, mas em prática há poucas realizações disto. Na experiência sobre a qual eu estou informando o professor grau ensinou para 9-10 estudantes alguns elementos da história de matemática, i.e.:

1. noções sobre o trabalho de matemáticos famosos, sobre momentos do desenvolvimento matemático, sobre as ligações de matemática com civilizações, cultura, e outras ciências,

2. interpretação de textos matemáticos pelo uso de competências adquirido dentro o

curso de matemática e em outros cursos. Por exemplo, uma análise lingüística foi executada para entender documentos velhos.

Depois de aproximadamente dois meses como o fim do curso de história um questionário foi administrado aos estudantes com a pontaria de verificar o do qual eles mantiveram e como eles perceberam o assunto novo. Este questionário (disponível ao endereço https://www.iprase.tn.it) é feito de 35 artigos fechados. Pode ser usado fertilmente em cursos de treinamento de professor como um fundo para discutir as perguntas seguintes:

1. Quais metas educacionais permite a história de matemática para alcançar?

2. É realístico para projetar sucessões pedagógicas que cercam o conhecimento requeridas por responder os artigos do questionário?

3. Quais competências são estimuladas pela aprendizagem de elementos da história de

matemática?

4. História pode mudar os estudantes atitude de ' para matemática?

Quando eu tive a ocasião para discutir estas perguntas com professores que eu notei que eles são agudos para aceitar o mero ensino de história como uma atividade útil na sala de aula de acordo com a idéia deles/delas de que meios de matemática pedagógicos. Se para eles matemática pedagógica pretender transmitir noções e habilidades de rotina, o mero ensino de história é rejeitado como um desperdício de tempo. Pelo contrário, a atividade se aparece frutífera em debate se matemática pedagógica é concebida de como uma oportunidade para levar parte em um projeto educacional global no qual os estudantes adquirem a habilidade de collaboratively trabalhando em grupos, de procurar determinadas metas explorando os meios disponíveis, de aprendizagem processar informação.

No fundo de ambas as experiências há a suposição que história enlata actuallycontribute a estudantes variáveis atitude de ' para matemática, veja (Charbonneau, 2002). O leitor pode observar que eu não discuto que as atividades que eu mencionei podem contribuir a humanizar matemática. Isto não estava nos objetivos declarados de ambos os professores envolvidos nas duas experiências; os objetivos deles/delas eram principalmente esses de integrar matemática que ensina no ensino global de disciplinas escolares dando ênfase a os objetivos comuns e habilidades.

OBJETOS MATEMÁTICOS CONSTRUINDO

Eu considero importante as duas perguntas discutidas antes (humanizando matemática, a história de matemática como um assunto escolar), não obstante eu estou atento que o caroço da discussão sobre o uso de história matemática ensinando é unido a sua contribuição à construção de objetos matemáticos em classe. Cinza e Alto (2001) considere tipos diferentes de objetos matemáticos:

A pessoa é o objeto encarnado, como em geometria e gráficos que começam com fundações físicas e continuamente desenvolva quadros mentais mais abstratos pelo uso hierárquico sutil de idioma. Outro é o procept simbólico que age seamlessly para trocar de um ‘conceito mental manipular ' para um freqüentemente ‘inconsciente processam para levar a cabo ' que usa um algoritmo cognitivo apropriado. O terço é um conceito pensando axiomático era axiomas de verbal/symbolical são usados como uma base para uma teoria logicamente construída. (Aqui o quarto tipo de conceito poderia acontecer distinguindo entre esses conceitos que evoluem de objetos encarnados e esses de objetos encapsulados). (p.70)9

O adjetivo encarnado evoca paradigmas unidos a cognição encarnada. “Em lugar de positing um observador passivo que leva em uma realidade predeterminada, este cabo de paradigmas que realidade é construída pelo observador, baseado em formas culturalmente determinadas non-arbitrárias de senso que faz são fundamentados que no final das contas em experiência corporal” (Núñez et al. 1999, pp.48-49). Até mesmo se o termo incorporação de ‘' é usado de vários modos diferentes dentro de ciência cognitiva contemporânea todos os investigadores “parte um foco na relação íntima entre cognição, note, e morando experiência corporal no mundo, quer dizer, nos modos nos quais comportamento adaptável complexo emerge de experiência física em sistemas biologicamente-constrangidos.” (p.49) eu julgo aquela história, para a natureza dos problemas considerou e o modo que a solução deles/delas é chegada, oferece o ambiente onde podem ser encarnados objetos (eu uso este termo em um senso largo).

Um exemplo de estudantes ' experiência corporal é a medida de alturas inacessíveis a partir de documentos históricos, veja (Gulikers, 2002-03) e (Foschi, 2003). O primeiro papel recorre a um projeto apontado a semelhança pedagógica. Para este propósito o autor usa um livro holandês por Cardinael (1610) em qual um método para medir a altura de uma torre com a ajuda de um espelho é descrito. Outro método para medir alturas inacessíveis está baseado nenhum instrumento velho conhecido como o pessoal atravessado descrito nenhum livro de geometria de o Pierre la de que Ramée traduziu em holandês em 1622. Nenhum papel são informados os textos originais de alguns problemas como também os alunos tarefas de.'

Como segundas transações de papel com teorema do 19 em Euclid “Ótica” e com alguns tópicos relacionados, como como propriedades de triângulos certos semelhantes e uma propagação e reflexão de luz. Uma parte deste papel origina de lições de sala de aula central. Naquela experiência fontes originais eram usadas (passagens de matematici de por de Ludi Léon Battista Alberti, Quaderni della fenice, Edizioni Guanda, Milano, 1980). De acordo com o autor as inter-relações entre idéias físicas e argumentos teóricos matemáticos foram agarradas pelos estudantes envolvidos na experiência.

Fig.1. Uma torre e uma escada de mão Fig.2. Duas torres e uma escada de mão

Os problemas informados nos dois documentos sobre medir alturas inacessíveis me fazem lembrar dos problemas de “escada de mão e torres” largamente usado na Meio-idade e depois de nos tratados em “geometria prática.” Eu levo alguns exemplos agradáveis apresentavam os estudantes a problema que posa de um livro italiano que data atrás ao fim do Dezesseis Século 10. O livro em questão não é um real texto matemático, é bastante um manual por resolver problemas práticos de fazendeiros, tanoeiros, pedreiros, artesãos. Nenhum método geral é determinado, mas só métodos e truques conceberam ad hoc para cada tipo diferente de problemas. Em Fig.1 e Fig.2 as imagens que acompanham alguns problemas de torres e são informadas escada de mão. O texto dos problemas relativo a Fig.1 é interessante e engraçado:

Problema 1: Determinado uma torre e uma escada de mão, a qual distância o fundo da escada de mão tem que ser posto de forma que o topo da torre é alcançado?

Problema 2: Determinado uma torre e sua distância da base da torre que o comprimento da escada de mão é que permite alcançar o topo da torre?

Problema 3: Determinado são alcançadas uma escada de mão e sua distância da base da torre que a altura da torre está de forma que seu topo com uma determinada escada de mão?

Por estes problemas ingênuos os estudantes jovens podem aprender distinguir entre problemas em contexto que tem um significado e esses que não têm: o terceiro problema não tem nenhum significado desde então ninguém construiria uma torre para emparelhar o comprimento da escada de mão e a distância da base. No mesmo espírito a pessoa pode analisar o problema ilustrado em Fig.3 que se trata da regra por achar o perímetro de um triângulo. Infelizmente os lados medem 7, 8 e 15 de forma que o triângulo em questão não exista.

Fig.3. Achar o perímetro de um triângulo

A passagem do mundo de objetos encarnados para o mundo de procepts simbólico é nutrida através de metáforas. Há exemplos agradáveis disto em história. Como informado pelo Yan Li e Shi Ran Du (1987), no Pythagoras ou teorema de Gõugü a medida vertical é chamada ‘Gü ', enquanto significando uma medida ou balança. A sombra da medida lançada pelo sol em um avião é chamada ‘Gõu ' e a hipotenusa é conhecida como ‘Xián ', um fio de um arco. Assim o direito pescou que triângulo é chamado ‘Gõugü amoldam '. Nós vemos que metáforas e interação de idioma amoldando o significado de objetos matemáticos. Esta metáfora chinesa se assemelha às metáforas descritas dentro (Lakoff & Núñez, 2000), em particular como não reside em palavras; é uma questão de pensamento.

Como um exemplo final eu informo um caso em qual a construção de um objeto matemático (o conceito de máximo) na sala de aula acontece pela incorporação de objeto (por percepção na tela de computador) e idioma metafórico. Eu unirei este caso com uma passagem por Fermat 11.

No laboratório de matemática, em quais estudantes use o software geométrico dinâmico Cabri, o problema seguinte foi nomeado “Como a área de um retângulo varia quando o perímetro é constante?. Por exemplo, leve 12 como o valor do perímetro.” Classifique 10 estudantes se ocupados da experiência; eles eram bastante bons usando Cabri, mas não soube cálculo. Na sala de aula deles/delas, exploração era regularmente usada como um método de chegar conjeturas e prova; o trabalho foi levado a cabo em grupos. Eles começaram puxando com Cabri uma linha de segmento HK de comprimento 6 (meio perímetro) e levou um ponto P nisto (o HP e PK representam os comprimentos dos lados de um retângulo de perímetro 12). Eles puxaram o segmento AP correspondente para HP a isso, em uma linha direta, e o segmento PB correspondente a KP na linha perpendicular a HP a PÁG. A figura foi completada obtenha um retângulo de perímetro 12. Nesta primeira fase viram os estudantes (‘percebeu ') que quando P se muda o segmento HK as mudanças de retângulo. Depois eles perceberam que a área depende do comprimento de AP. Esta dependência poderia ser estabelecida de um modo mais preciso pelo uso de uma planilha eletrônica. Alguns estudantes puderam produzir conjeturas na tendência da variação. Ao fim a regra foi mostrada pelo comando ‘localizam ' de Cabri, veja Fig.4.

Assim os estudantes foram levados a concluir que a maior área foi alcançada quando os dois lados são iguais, i.e. o retângulo é um quadrado. Para eles era difícil de dar uma explicação deste fato. Mas um grupo de estudantes tentou a explicação informal seguinte:

Olhe para isso, professor: se eu aponto no meio e depois que eu troque um pequeno à esquerda e um pequeno à direita, as diminuições de área.

Esta não é uma prova, e nem mesmo uma explicação, mas esta oração deu para o professor uma sugestão explicar como passar da pura fase perceptiva a uma fase de usar símbolos como uma ferramenta por resolver problemas. Nesta fase o professor trabalhou no mundo de procepts simbólico. Ele disse:

Como possa nós traduzimos em símbolos - que pretende trabalhar de um modo operativo - a expressão “trocar um pequeno à esquerda e um pequeno à direita do ponto mediano?” A resposta é 3-x e 3 + x. Então a área do retângulo é (3-x) (3+ x), isso é 9-x 2.

Neste momento os estudantes reconheceram facilmente que a maior área é alcançada quando x = 0. A metáfora de “trocando à esquerda e à direita” é uma ponte entre situações perceptivas e situações conceituais simbólicas.

Fig.4. Figura fez com Cabri por estudantes para o problema de achar a maior área Considerando este episódio da perspectiva histórica levado neste papel nós notamos um

semelhança fascinante com a passagem seguinte de Methodus anúncio disquirendam maximam et minimam no qual Fermat fixa o método dele por avaliar máximos e mínimos 12:

A teoria inteira de avaliação de máximos e mínimos pressupõe duas quantidades desconhecidas e a regra seguinte: Deixe um seja qualquer desconhecido do problema (que está em um, dois, ou três dimensões, enquanto dependendo da formulação do problema). Nos deixe indicar o máximo ou mínimo por um em condições que poderiam ser de qualquer grau. Nós substituiremos o desconhecido original agora um por um + e e nós expressaremos o máximo ou quantidade de mínimo assim em termos de um e e que envolve qualquer grau. Nós devemos adequado [adégaler], usar Diophantus termo de ', as duas expressões do máximo ou quantidade de mínimo e nós tiraremos as condições comuns deles/delas. Agora se mostra que ambos os lados conterão condições em e ou seus poderes. Nós dividiremos todas as condições por e, ou por um poder mais alto de e, de forma que e será removido completamente de pelo menos um das condições. Nós suprimimos todas as condições nas quais e ou um de seus poderes ainda se aparecem então, e nós compararemos os outros; ou, se um das expressões desaparecer, nós compararemos que é a mesma coisa as condições positivas e negativas. A solução desta última equação renderá o valor de um que conduzirá ao máximo ou mínimo usando a expressão original novamente.

Aqui é um exemplo:

Dividir a CA de segmento a E de forma que AE x EC podem ser um máximo.

UM EC

Nós escrevemos CA = b; deixe um seja um dos segmentos, de forma que o outro será b - um, e o produto, o máximo de qual será achado, será ba - uns 2. Deixe agora um + e é o primeiro segmento de b; o segundo será b - um - e, e o produto dos segmentos, ba - uns 2 + seja - 2ae - c 2; estes deve ser adequated com o preceder: ba - uns 2.

Condições comuns suprimindo: seja ~ 2ae + e 2. [Dividindo todas as condições: b ~ 2a + e]13. E suprimindo: b = 2a. Resolver o problema nós temos que levar o a metade de b por conseguinte.

Nós podemos esperar um método mais geral quase não.

COMENTÁRIOS

No período 1999-2003 a produção mundial no campo de história e pedagogia de

matemática era - obviamente - muito mais ricos que eu pude ilustrar. Em particular, tendo focussed no lado pedagógico, eu omiti o assunto de discutir teoria e métodos em história de matemática, veja (Rubin, 2001) que é o outro lado da moeda. Em minha avaliação minha preocupação foi entrar em minha procura para o significado pedagógico de unir história e ensino de matemática.