Integrando a História da Matemática na Sala de Aula

02/12/2011 17:07

 

Integrando História da  Matemática na Sala de Aula:

Uma Pesquisa Analítica

 

Constantinos Tzanakis and Abraham Arcavi

(Carlos Correia de Sá, Masami Isoda, Chi-Kai Lit, Mogens Nis, João Pitombeira de Carvalho, Michel Rodriguez, Man-Keung Siu)

 

Resumo: Uma pesquisa analítica de como a História da  Matemática tem sido e pode ser integrada nas aulas de  Matemática estipulando modelos para  educadores matemáticos usarem ou adaptarem.

 

7.1 Introdução:

 

A  Matemática é freqüentemente considerada como uma coleção de axiomas, teoremas e provas. Organizada e apresentada como uma estrutura dedutiva formal, ela assume, pelo menos, de forma implícita que a clareza lógica de tal apresentação pode ser suficiente para que se entenda  Matemática. Sob esse ponto de vista, fortemente influenciado pelo formalismo como uma tendência filosófica, a  Matemática parece progredir através de uma comunicação mais ou menos linear de resultados novos. Notoriamente, consiste de produtos refinados da atividade  Matemática, que podem ser comunicados, criticados (aceitos ou rejeitados) e que podem servir de base para novos trabalhos. Entretanto, cada vez mais, reconhecesse-se que este ponto de vista da  Matemática é apenas um ods aspectos daquilo que constitui o conhecimento matemático.

O processo da fazer  Matemática é igualmente importante, especialmente do ponto de vista didático. Este processo inclui o emprego de heurísticas, errar , ter dúvidas e concepções errôneas, e até mesmo retroceder no desenvolvimento e no entendimento de uma matéria, neste entendimento o significado do conhecimento é determinado não somente pelas circunstâncias.

O significado do conhecimento matemático é determinado não somente pelas circunstâncias nas quais ele se torna uma teoria  Matemática estruturada se forma dedutiva mas também pelo procedimento que originalmente conduziu a ele e o qual é indispensável para o seu entendimento.

Aprender  Matemática, então, não é somente tornar-se familiarizado com e competente em lidar com símbolos e a sintaxe lógica das teorias e acumular conhecimentos de novos resultados presentes como produtos acabados. Aprender  Matemática inclui o entendimento das motivações para alguns problemas e questões, as ações que fazem sentido e os processos de reflexão (pensamento) que objetivam a construção do sentido pela ligação do conhecimento velho e do novo e pela expansão e fortalecimento das estruturas conceituais existentes. O ensino da  Matemática então, torna-se mais um empreendimento muito mais complexo do que apenas a mera exposição de desenvolver  Matemática bem organizada, ele deve incluir, dar oportunidades para fazer  Matemática, no sentido descrevendo o acima. Dessa forma, a História da  Matemática parece um meio natural de expor  Matemática no fazer,  portanto ela pode ter um papel muito importante na Educação  Matemática.

Este capítulo pretende revisar como a História  Matemática pode ser e tem sido buscada e integrada na Educação  Matemática. Mais especificamente, na seção 7.2 o argumento geral acima para a relevância da história é analisado com mais detalhes. A análise fornece várias  razões pelas quais a História da  Matemática pode ser relevante ao processo de ensino e aprendizagem, tanto para o professor quanto para o aluno.

Nesse processo, alguns argumentos que questionam o uso da história na Educação  Matemática são levantados e tratados.

Na seção 7.3 trabalhamos questões importantes de como a integração da história pode ser realizada, e na seção 7.4, a maior de todas, pesquisamos e exemplificamos várias possibilidades diferentes de implementar a História da  Matemática na sala de aula.

 

7.2 Por que a História da  Matemática deveria ser integrada na Educação  Matemática?

 

A incorporação da História da  Matemática na Educação  Matemática tem sido defendida há muito tempo.(/De Morgan 1865; e outros...)

 

Em 1969, o US NCTM (National Coucil for the Teaching of Mathematics) dedicou o seu 31^o . anais do ano a História da  Matemática como ferramenta de ensino (NCTM 1969).

Por outro lado, diversas dificuldades têm sido levantadas, desafiando “o querer”, ou a possibilidade de se buscar a integração da História da  Matemática.

Nessa seção resumimos essas objeções numa lista (a partir da dada em Siu 1998) e classificamos e discutimos os diferentes argumentos que tem sido ou podem ser propostos a favor de integrar História na Educação  Matemática, lidando implicitamente no processo com as objeções.

 

Algumas Objeções

 Argumentos contrários a incorporação da história são baseados em pelo menos 2 fontes de dificuldade: filosófica e prática. Dentre estas, ouvimos que:

O1: História não é  Matemática?

Se você precisa ensinar história, então você precisa ensinar  Matemática  primeiro: ensina o conteúdo primeiro e então sua história.

O2: História pode ser sinuosa e confusa ao invés de esclarecedora.

O3: Os alunos podem ter um senso errático do passado, o que torna a contextualização histórica da  Matemática impossível, se eles não tiverem tido uma Educação em História geral mais ampla.

O4: Muitos alunos não gostam de história e por implicação, História da  Matemática. Ou  encontram nela menos prazer que na Matemática.

O5: Progredir em  Matemática é fazer o “resolver problemas difíceis” como uma rotina, porque preocupar-se com o passado.

O6: A História deve ser responsável para criar (cultivar) o chauvinismo cultural e o nacionalismo paroquial. Algumas das objeções práticas a incorporação da história no ensino e aprendizagem é:

O7: Falta de Tempo: não existe tempo suficiente na sala de aula para ensinar  Matemática como ela é, menos ainda quando ela é proposta para ensinar História da  Matemática também.

O8: Falta de recursos materiais de apoio suficientes para ajudar os professores que querem integrar informações  históricas.

O9: Falta de habilidade: o professor possui “falta e habilidade histórica” ( e.g. Fowler in Ransom 1991 p. 16)  É uma conseqüência da falta dos programas de ensino; mais precisamente, não somente histórico, mas também conhecimento interdisciplinar são requeridos. A falta de habilidade leva a uma falta de confiança até mais debilitante.

O10: Falta de avaliação: não existe um modo mais claro ou consistente de integrar qualquer componente histórico na avaliação dos estudantes, e se isto não é avaliado não irão valorizar ou prestar atenção a isso.

 

Alguns argumentos a favor da integração histórica.

 

Existem cinco principais áreas nas quais o ensino da  Matemática possa ter suporte, enriquecido e melhorado  integrando a História da  Matemática no processo educacional:

1. O aprendizado da  Matemática
2. O desenvolvimento de pontos de vista sob a natureza da  Matemática e da atividade  Matemática
3. O “conhecimento” didático prévio de professores e seus repertórios pedagógicos
4. A predisposição afetiva, ou o gosto pela, em relação à  Matemática
5. A visão da  Matemática como um empreendimento humano-cultural.

A seguir, trabalhamos sobre esses argumentos, e pelas implicações, tratamos de algumas das objeções mencionadas citando-as por números ao final de cada argumento ao qual elas está relacionada.

 

(a) O aprendizado da  Matemática

1. Desenvolvimento histórico X   Matemática acabada.

A  Matemática é usualmente organizada dedutivamente. Entretanto, o desenvolvimento histórico da  Matemática mostra que a organização dedutiva (ou estritamente axiomática) das disciplinas  Matemáticas vem somente depois desta disciplina ter alcançado maturidade, tal que ela vem necessariamente dar uma apresentação posterior desta estrutura lógica e completa. Freudenthal (1983, 1x) Descreve como segue:

 

“Nenhuma idéia  Matemática jamais foi publicada do modo como ela foi descoberta, se um problema já foi resolvido existem técnicas que já foram desenvolvidas e são usadas para virar o procedimento de solução “de cabeça para baixo”. . . [e transformar] the hot invention into icy beauty.”.

 

Então, a  Matemática é usualmente globalmente e retrospectivamente re-organizada. Por um lado, parece que esta re-organização é necessária para evitar relatos sinuosos e muito abrangentes.

Por outro lado, as questões e problemas que constituem motivações básicas para o desenvolvimento de uma idéia, assim como qualquer dúvida, pelo caminho, permanecem escondidos sob um campo de conhecimento de dedutivo e organizado de forma linear, no qual novos resultados parecem ser simplesmente adicionados de modo acumulativo. Nesta conexão, a adequada integração da história na Educação  Matemática pode ter um importante papel, ajudando a elucidar como “nossos conceitos matemáticos”, estruturas, idéias, foram inventadas como ferramentas para organizar o fenômeno do mundo mental, físico e social.

Deste modo os conceitos matemáticos estruturas ou idéias devem adquirir de acquaintance com a motivação e o fenômeno pelo qual foi criado (Barbin 1996, 196; ...)

Esse fato tem sido reconhecido e defendido por muitos (Klein, Polya, Lakatos)

Porém isso não implica nem que exista uma apresentação única especificada de uma matéria que siga exatamente o normalmente complicado desenvolvimento histórico e nem que o aprendizado da  Matemática deveria ser guiado “ontogenis, recapitulo, filogêneses”

A História poderia sugerir possíveis modos para apresentar o assunto de um modo natural, pela manutenção de falhas lógicas e a introdução ad hoc de conceitos, métodos ou provas em um número mínimo. Deste modo, registros históricos podem inspirar professores e ajudá-los no seu ensino(O1,O2 e O5)

 

2. História como um recurso:

 A História da  Matemática é composta de questões relevantes, problemas e exposições que devem ser valiosas tanto em termo do seu conteúdo quanto do seu potencial para motivar, interessar e envolver o aluno.

Nesta conexão, exercícios historicamente inspirados podem estimular os estudantes interessados e contribuir para o fortalecimento curricular junto com aqueles exercícios e problemas que podem parecer artificialmente designados.

Através de tais exercícios, aspectos do desenvolvimento histórico de um assunto tornam-se um conhecimento de trabalho para o estudante. Deste modo, a história não mais parece como algo “estranho” (O1, O4, O7 e O10)

 

3.História como uma ponte entre  Matemática e outros assuntos:

A história expõe  interrelações entre domínios matemáticos diferentes, ou, de  Matemática com outra disciplina. Além do mais, propõe que atividades  Matemáticas e resultados podem ser interdependentes. Então, integração da história no ensino pode ajudar a trazer conexões entre os domínios que a primeira vista parece não parece relacionados ele também fornece oportunidades para avaliar que a pesquisa frutificadora no domínio científico não está isolada de atividades similares em outros domínios.

Do contrário, ela é frequentemente motivada por questões e problemas que surgem de disciplinas aparentemente não relacionadas e que tem uma base impírica.

 

4. O valor educacional mais geral da história. Alunos envolvidos em projetos de estudos historicamente orientados podem desenvolver crescimentos particulares e habilidades (prática, experiência) não necessariamente associadas somente com seu desenvolvimento matemático, tal como ler, escrever, o procurar por recursos, documentar, discutir, analisar e “falar sobre” (ao invés de fazer)  Matemática.

 

( b) A natureza da  Matemática e da atividade  Matemática

1. Conteúdo: um ponto de vista mais exato da  Matemática e da atividade  Matemática pode ser dado por questões problemas e respostas historicamente importantes (sejam fornecidas diretamente por fontes primárias ou reconstituídas em uma língua moderna) Estudantes devem aprender que erros, argumentos heurísticos, incertos, dúvida, argumentos intuitivos, caminhos cegos, controvérsias e alternativas aproximadas para problemas não somente legitimadas, mas também uma parte integral da  Matemática no fazendo.

Eles podem tornar-se mais capazes para compreender que conjecturas e provas, que tem sido postas no passado, fornecem ou não respostas satisfatórias para problemas já existentes.

Indiretamente, alunos devem encorajar-se para formular suas próprias questões, fazendo conjecturas e indo atrás delas.

A História também torna a natureza evolucionária do conhecimento matemático característica dependendo do tempo dos meta-conceitos fundamentais, tais como provas, rigor, evidências, erros, etc., mais visíveis.

2. Forma: a  Matemática está evoluída não somente no seu conteúdo, mas também na sua forma, notação, terminologia, métodos computacionais, modos de expressão e representação. A história ajuda os estudantes a entenderem isto assim como a linguagem  Matemática (verbal ou simbólica) de um dado período, e a re-avaliar o papel das abordagens visuais, intuitivas não formais  que foram avançadas no passado. Então, com a ajuda de material original, ou até mesmo de partes dele, ambos professor e aluno devem tornar conscientes as vantagens e/ou desvantagens das formas modernas da  Matemática (O2) (Por exemplo, da análise vetorial com notação vetorial como aparece no meio do século XIX em Eletrodinâmica de Maxwell; mecânica clássica em formas geométricas euclidianas de Newton; notação algébrica de Diofante.)

 

( c ) A Experiência didática dos professores

 

Estudar história e tentar reconstruir aspectos do desenvolvimento histórico de tópicos específicos de  Matemática de modos apropriados didaticamente, professores devem:

1. Identificar a motivações através da introdução de (novos) conhecimentos matemáticos, através do estudo de exemplos que servem como protótipos no seu desenvolvimento históricos e que devem ajudar estudantes a entederem-nos.
2. Ficarem atentos:

(i) as dificuldades, ou, obstáculos, que aparecem na história e podem reaparecer na sala de aula;

(ii) como “avançado” um assunto pode ser, isto é, quando um assunto simplesmente aparece , ele deve ter sido o resultado de uma evolução gradual. Em geral, sua evolução foi baseada em questões e problemas concretas  que não são evidentes se o assunto está presente em sua forma moderna correta desde o princípio. Mas esses problemas e questões podem pressupor uma maturidade  Matemática em parte do estudante que não deve tê-la até agora. Dessa forma, a História da  Matemática pode ajudar o professor a tornar-se atento aos pós e contra da apresentação de um assunto no plano particular da educação.(O5)

3. Tornar envolvente, tornar mais atento, o processo criativo do “fazer  Matemática”. (Barbin 1997). Professores (e em conexão, estudantes) não podem somente enriquecer  sua alfabetização  Matemática, mas também avaliar a natureza da atividade  Matemática.
4. Enriquecer seu repertório didático de exposições, exemplos e abordagens criativas apresentam para apresentar um ou para resolver problemas.(O1)
5. Participar numa situação na qual eles tem que decifrar e entender uma  obra conhecida de  Matemática exata mas cujo tratamento não é moderno, e assim eles podem exercitar sensitivamente, tolerância e respeito com modos não convencional e indiossincrático para expressar idéias ou resolver problemas. Este argumento é válido também para estudantes. (O2)

 

(d) A Predisposição afetiva, o gosto pela  Matemática.

 

A história pode estabalecer modelos de papel  da atividade humana, das quais diversas coisas podem ser aprendidas, entre elas as seguintes:

1. A  Matemática é um assunto evolutivo e humano mais do que um sistema de verdades rígidas. Ele é um empreendimento humano que requer esforço intelectual e é determinada por fatores gerais que pertencem ambos a  Matemática em si e ao seu exterior, em particular ela não é um produto acabado dado por Deus designado para rotas de ensino.
2. O valor de persistir com idéias, de conduzir linhas de pesquisa, de colocar questões, e de tentar desenvolver  modos criativos ou idiossincráticos de pensamento.
3. Não desestimular pelo fracasso, erros, dúvidas, ou enganos, avaliando que estes foram os blocos da construção do trabalho de notáveis matemáticos. (O2, O5)

 

(e) A visão da  Matemática como um empreendimento humano-cultural.

 

Por exemplo:

1. Através do estudo detalhado de exemplos históricos, estudantes podem ter a oportunidade de ver que a  Matemática é dirigida somente por ...
2. A história pode oferecer exemplos de como o desenvolvimento interno da  Matemática, whether driven by utilitarian or purê reasons,  tem sido influenciada, or even determined to a large extent, por fatores sociais e culturais. (O9)
3. A  Matemática em sua forma moderna é mostly vista como um produto de culturas (western) particulares. Através do estudo da História da  Matemática, professores e alunos tem a oportunidade de tornar aware of other, less know, approachers to mathematics that appeared within other cultures, e e a regra para isso é played in them. Em muitos casos, os aspectos culturais podem ajudar professores em seu trabalho diário com populações multi-étcnicas, reavaliar a heritage como um meio de desenvolver tolerância e respeito por colegas. (O6)

A discussão nesta seção ilustra os diversos papéis que a história pode ter na Educação  Matemática, variando de acordo com a intenção proposta e os beneficiados.

Ambos alunos e professores beneficiados, podem lucrar não somente com a prática, mas também como praticantes, mas também como alunos, ambos na sua educação pré-serviço em serviço dos programas em desenvolvimento. A apresentação acima traz a necessidade de uma discussão para:

( i ) recursos acessíveis, que valem para professores e alunos.(O8)

(ii) uma preparação sistemática para futuros professores durante seu treinamento inicial, através de estudos em serviço. (O9)

O volume apresentado em geral , e o resto desse capítulo em particular, tem a intenção de  contribuir para o fulfilment destas necessidades. Nesta seção , nós pesquisamos o modo no qual a história pode na prática ser integrada a experiências educacionais.

 

 

 

 

 

7.3 Como a História da  Matemática

pode ser integrada na Educação  Matemática?

 

Nesta seção distinguiremos e analisaremos três diferentes modos no qual essa integração é feita.

1. Aprendendo história, por comprovação de informações históricas.
2. Aprendendo tópicos de matemática, seguindo um ensino e aprendizagem por uma abordagem inspirada pela história.
3. Desenvolvendo uma atentidão profunda, tanto da história em si e do contexto cultural no qual a  Matemática tem sido feita.

 

7.3.1 Informações diretas da história

 

Por informações diretas da história entendemos,

1. informações de fatos isolados, tais como nome, datas, trabalhos e acontecimentos históricos, cartas, biografias, problemas e questões famosos, facsímiles, etc., e
2. cursos complexos ou livros de História da  Matemática. Estes podem conter dados históricos ou o desenvolvimento de conceitos ou algo do tipo.

Em ambos os casos a ênfase é mais no recurso histórico do que na aprendizagem  Matemática ( em contraste ao descrito na subseção seguinte). Dada esta ênfase, esse é uma maneira de integrar a história,  por si mesma ela não substitui o ensino intrínseco dum assunto particular matemático ( embora ela certamente interfira na experiência da aprendizagem).

 

Na seção 7.4 descrevemos em detalhes algumas diferentes implementações desta ênfase, tal como “snippets”(7.4.1) partes de pacotes prontos para usar em sala de aula (7.4.5), familiarizando-se com problemas famosos (7.4.7), certos tipos de atividades (7.4.10) , certas exposições visuais (7.4.11), visitas a museus (7.4.12), e a rede WWW (7.4.13). Embora informações diretamente históricas não podem  enfatizar a implementação descrita na seção 7.4, elas podem ser parte dela.

A maioria dos argumentos analisados na seção 7.2 pode ser suporte parcial da integração dependendo da forma , do escopo e da profundidade escolhida.

 

 

7.3.2 Um ensino inspirado numa abordagem histórica

 

A característica da “necessidade do assunto” constitui o núcleo central do significado atribuído a ela pelo aluno.

 Deste modo uma abordagem genética da ênfase usar menos dos conceitos, teorias e métodos, e mais do “por quê” provém uma resposta para uma questão ou problema matemático, sem entretanto desconsiderar o papel técnico do conhecimento matemático.

Por tal ponto de vista a perspectiva histórica oferece possibilidades para um profundo entendimento global do assunto, de acordo com o seguinte esquema:

1. even the teacher, que não é um historiador deve adquirir um conhecimento básico da evolução histórica do assunto.
2. dessa forma etapas cruciais devem da evolução histórica são identificadas, como aquelas idéias chaves, questões e problemas que abriram novas perspectivas de pesquisa.
3. Estes fatos cruciais são reconstruídos, de modo que eles se tornem didaticamente apropriados para o uso em sala de aula.
4. Esta reconstrução destes fatos cruciais é dada como  uma sequência de problemas historicamente motivados  de um nível crescente de dificuldade.
5. A forma destes problemas deve variar de exercícios simples , de um caráter mais ou menos “técnico”, a abrir questões que podem ser resolvidas como parte de um projeto de estudo.

 

A respeito desses argumentos, fazemos algumas observações:

 

1. Professores e alunos devem fazer uso adequado de fontes primárias e secundárias;
2. Principalmente no estágio (2) acima e (em parte no (3) ), o professor faz um esforço para compreender as dificuldades do assunto e superar os possíveis obstáculos na compreensão. Então a seleção de questões e problemas pode ser feita, motivada pela história, assim como aguçar a curiosidade do aluno e  facilitar o caminho para ele, criando e/ou expondo as motivações necessárias para estudar novas teorias, métodos e concepções. Deste modo, poderemos ter respostas para questões importantes como a esperada por Brousseau (1983, 167):

 

“A pupil doesn’t do mathematics if he is not given problems and does not solve problems. Everybody accepts this fact. The difficulties arise once it is required to know, whic problems must be given to him, who puts them and in what way.”

 

Um pupilo não faz a  Matemática se não lhe é dado problemas e não resolve problemas. Todos aceitam esse fato. As dificuldades nascem uma vez que se requer conhecer, cujos problemas devem  ser dados a ele, quem coloca-os e em que forma.

 Neste direção, raciocínios indutivos e ? ? ? dominam como modelos criativos, enfatizando a atividade  Matemática por si só mais que o arranjo tão bem organizado de seus resultados (Polya 1954, 1968, Tzanakis 1997 e 1998)

 

3. Na reconstrução do estágio (3), a história pode entrar explicita ou implicitamente. Existe uma dualidade aqui, como tem sido posta por diversos autores, de trabalho de Toeplitz de pesquisas recentes, veja a distinção entre abordagem genética direta e indireta (Toeplitz 1927, 1963; Schubring 1978, 1988), “forward and backward heuristics” (Vasco 1995), e o uso implícito e explícito da história (Menghini 1999).Numa reconstrução em que a história é explicitamente integrada, descobertas  Matemáticas estão presentes em todos os aspectos. Seqüências diferentes de ensino podem ser organizadas por meio de eventos históricos, para mostrar a evolução e o estágio em que o progresso da  Matemática descrevendo um determinado período histórico( Menghini, Schubring e outros) Numa reconstrução em que a história entra implicitamente, uma seqüência de ensino sobre um assunto é sugerida, pode ser feito o uso  de conceitos, métodos e notações que apareceram mais tarde  sobre o considerado, mantendo sempre em mente que o alvo, ou objetivo didático é compreender o conceito matemático na sua forma moderna. Em tal abordagem, a sequência de ensino não é necessariamente respeitada a ordem no qual o evento histórico apareceu; isso poderá ser feito depois.Neste ponto, é importante enfatizar que as possibilidades acima não são mutuamente exclusivas. Elas tem uma caráter dual e ambas podem ser usadas no ensino de um assunto complementarmente: Na integração explicita da história  a ênfase é um caminho irregular mais ou menos acabado de um trabalho que aparece historicamente e chega a forma moderna do assunto; numa integração implícita, a ênfase está no redesenhar e sinalizar este caminho. Em ambos os casos, aspectos históricos de problemas famosos, argumentos intuitivos, erros, e concepções alternativas  podem ser incorporados no ensino (7.4.6 e 7.4.7)
4. Um interesse sobre tal abordagem pode ser o medo que ela leve também muito tempo. A seqüência de problemas  pode dar oportunidades para o aluno chegar  a resultados construtivos, seguindo etapas do caminho histórico. Deste modo, a solução de exercícios torna-se um ingrediente   essencial para a aprendizagem, aprendizagem construída da necessidade de conceitos técnicos baseada  em problemas interessantes e não em exercícios artificialmente construídos e sem interesse. Deve-se ter cuidado , é claro, de não apresentar aspectos fundamentais do assunto em forma de exercícios ou problemas (conceitos básicos ou teoremas difíceis).

As abordagens descritas de (1) a (4) acima tem vantagens distintas, algumas das quais são as seguintes:

• reconstrução de exemplos feitos possivelmente por alunos para entender a motivação ou  introdução de um novo conceito, teoria, método ou demonstração.((3) e (iii) acima)
• O aluno e o professor são encorajados a produzirem em suas próprias pesquisas.(7.2 a3)
• O ponto (2) (identificando as etapas cruciais) revela  inter-relações entre áreas, que possuem grande interesse didático. (7.2 e a3)
• É possível ter a solução de problemas e exercícios , um ingrediente essencial da apresentação, muito  útil para a compreensão de um assunto. O interesse é naturalmente induzido por questões historicamente importantes e  matematicamente frutíferas sem negligenciar seu papel como meio para melhorar o conhecimento de “técnicas  Matemáticas”. (7.2 e a2)
• A abordagem sugere possibilidades para ensinar um assunto, de acorde com a necessidade específica da sala de aula e do currículo; e.g. dando ênfase a aspectos históricos, ou especificando idéias  Matemáticas, ou inter-relações entre diferentes áreas da matemática ou não. (7.2.a1)
• Por meio dos pontos (1) e (2) acima, o professor tem a oportunidade de comparar a  Matemática moderna com sua forma no passado (notação, terminologia, métodos de demonstração e de computação, etc. ) A apresentação de aspectos desta comparação pode ser benéfica para os estudantes (7.2, b2)
• Pelos pontos (1) e (2) acima, é possível para o professor olhar para e identificar dificuldades e obstáculos para a compreensão do assunto. (7.2 e c2)

 

7.3.3 Atenção  Matemática

 

(a) A História da  Matemática oferece oportunidades para revelar, analisar e enfatizar importantes aspectos do fazer  Matemática, tais como:

1. o papel da estrutura conceitual geral e da motivação associada, questões e problemas, que conduzem o desenvolvimento de áreas particulares da  Matemática  (Tzanakis 1995, 7.2, d1.e1,e2)
2. A natureza envolvente da  Matemática, no conteúdo e na forma; notação, terminologia, métodos computacionais favoritos, modos de expressão e representação, bem como noções meta Matemáticas como demonstrações, rigor e evidências, em comparação com a  Matemática de hoje (Barbin 1996, Kleiner 1996; 7.2,b)
3. O papel da dúvida, paradoxos, contradições, intuições, heurísticas e dificuldades de aprender e produzir novas  Matemáticas no contexto de questões específicas, e a motivação para generalizar, abstrair e formalizar em tal contexto ( Lakatos 1976, Friedelmeyer 1996; 7.2, d3, c2 ,a1)

 

(b) A atenção para a natureza extrínseca da atividade  Matemática

A  Matemática é freqüentemente considerada como uma disciplina que é desconectada do que diz respeito ao social e ao cultural. Sua história pode ilustrar a superficialidade de tal ponto de vista. Por exemplo

 

(i) aspectos da  Matemática podem ser proximamente relacionados a questões e problemas  filosóficos; as artes (musica, arquitetura etc) outras ciências (7.2, a3, e3)

(ii) the social and cultural milieu may be seen to influence the development, or delay the development, of certain mathematical domains (7.2, e2)

(iii) a  Matemática é reconhecida como uma parte integral da herança e da prática cultural de diferentes civilizações, nações grupos ‘’étnicos (

(iv) Presente na Educação  Matemática por toda a sua história reflete a tendência e os interesses na cultura e na sociedade

A ênfase listada acima pode servir como um esboço geral de como começar a traduzir os argumentos suportes da integração na Educação  Matemática, detalhado em 7.2. Mais especificamente, guias para a implementação são detalhados nesta seção. Por exemplo: projetos de pesquisa em textos históricos, fontes primárias, tirando vantagens de erros, concepções alternativas, mudança de perspectiva, revisão de afirmações, argumentos intuitivos, problemas históricos famosos, instrumentos mecânicos, atividades  Matemáticas experimentais e experiências ao ar livre (fora da sala)

      Modos de integrar a história na Educação  Matemática claramente envolvendo uso de fontes de material referencial. Estes materiais podem ser grosseiramente categorizados em três tipos:

1. Fontes primárias (exceto os documentos originais )
2. Fontes secundárias ( livro texto com narrativas históricas, interpretações e reconstruções)
3. Fontes de material didático.

Historiadores da matemática são, por sua profissão, a maioria das vezes interessados em evidências fornecidas por fontes primárias, e contribuem para o progresso do conhecimento pela escrita de fontes materiais secundárias. Professores de  Matemática podem beneficiar-se de materiais primários e secundários e eles particularmente trazem a terceira categoria de material didático. Por fonte de material didático, nós reunimos toda a literatura que provém de fontes primárias e secundárias escritas s por uma abordagem inspirada na história (incluindo exposições, tutorias, exercícios, etc)

 

Nessas três categorias, a fonte de material didático vem ser a mais carente no domínio público. Professores de  Matemática e educadores matemáticos são encorajados a desenvolver, individualmente, ou em colaboração, seus materiais nesta categoria.

O diagrama abaixo ilustra os tipos de materiais referenciais. As setas indicam possibilidades de interconexão entre os materiais.

 

DIAGRAMA

 

7.4 Idéias e exemplos para a implementação na sala de aula.

 

Nesta seção pesquisamos várias sugestões de possibilidades de caminhos de implementação  da história nas aulas de  Matemática, através de exemplos dados sob cada um dos seguintes tópicos:

1. Trechos históricos
2. Projetos de pesquisa baseados em textos históricos
3. Fontes primárias
4. Tarefas
5. Acontecimentos históricos
6. Tirando vantagens de erros, concepções alternativas, escolha de perspectivas, revisão de afirmações implícitas, argumentos intuitivos
7. Problemas históricos
8. Instrumentos mecânicos
9. Atividades experimentais de  Matemática
10. Jogos
11. Filme e outros recursos visuais
12. Experiências fora da sala de aula
13. WWW

 

1. Trechos históricos

 

Trechos encontrados nos livros textos de  Matemática, por exemplo:

1. onde é inserido no texto trechos  relativos  a exposição a qual se refere:

antes, durante (entremeando o texto ou como nota de rodapé), ao longo (em paralelo no meio do texto mas separado dele) ou depois da exposição  Matemática?

2. a abordagem didática: é o trecho meramente expositor, ou um convite ao envolver (resolver um problema, decifrar uma anotação, propor projetos e atividades) ?
3. Com considerado: quanto a atenção é dedicada ao lado histórico na comparação com a exposição  Matemática? É o matemático dando apenas suas datas ou alem disso, cheio de detalhes sua vida provável?
4. Estilos e formas de trechos: É a narrativa informal, amigável, fácil de ler? É distinta de diversos textos, usando diferente cores, experiências, letras?

Sobre o assunto, consideramos que os trechos consistem de e qual o aspecto da historia enfatizado:

5. Dados de fatos: fotografias, faxmile, títulos, paginas de livros, biografias, atribuições de autorias, anedotas, datas e cronologias, instrumentos mecânicos, arquitetura, artístico, projetos culturais.
6. Emissão de conceitos: A narrativa pode inspirar-se na motivação, origem e evolução de uma idéia, modos de notar e representar idéias como opostas às modernas, argumentos (erros, concepções alternativas, etc..),problemas de origem históricas e métodos antigos de calculo, etc..

 

1.  Estudando Projetos de pesquisa baseados em textos históricos

 

Resumimos uma experiência de Denmark. A nível universitário o princípio deste exemplo é aplica-lo quando mudanças são feitas. Na universidade de Roskilde, grau de mestre estudos em  Matemática por trabalhos em projetos ocupam um aposição central. Alunos usam metade do seu tempo trabalhando em pequenos grupos. Cada projeto objetiva pôr e responder uma breve questão tipo – pesquisa.Leva de um a dois semestres, em paralelo com o curso tradicional. O produto final, de 70 a 150 páginas, é defendido num exame oral com examinadores internos e externos. Estudantes devem fazer três projetos em  Matemática, no qual um pelo menos eles devem considerar aspectos da natureza e da estrutura da  Matemática como uma ciência com atenção particular a seus métodos, teorias e organização, elucidar questões filosóficas, desenvolvimento histórico ou o papel social da  Matemática. A filosofia que esta pro traz desses projetos é que cada matemático graduado sem levar em consideração sua carreira futura como um pesquisador, professor ou utilizador da  Matemática, deve ter no mínimo uma impressão da  Matemática como uma disciplina situada na cultura  humana e na sociedade, tendo uma historia relacionada à vida e outras disciplinas. Em geral as questões pesquisadas investigações e processos conduzem a uma grande semelhança aos projetos de pesquisa publicados originalmente.

Exemplos:

Trissecsão de ângulo: um problema clássico, Euler e Bolzano: Analise  Matemática sob uma perspectiva filosófica .

A historia da Teoria dos números complexos

A gênese da geometria não euclidiana e seu impacto no desenvolvimento da  Matemática

A influencia de Galões no desenvolvimento da Álgebra abstrata.

Os métodos standard da estatística  Matemática: fatores internos e externos em sua gênese e desenvolvimento.

O recente desenvolvimento da teoria de jogos.

Resumimos a gênese e o desenvolvimento de um projeto “O problema de Cayley e o desenvolvimento que mais tarde tornou-se fractal”, feito por seis estudantes. Consultando pesquisas no campo de sistemas dinâmicos com interesse na sua historia os alunos decidiram olhar a historia do problema de Cayley (o problema de determinar o domínio de convergências para o método de interassado de Newton aplicado a funções polinomiais complexas) investigações iniciais mostraram que Cayley e Schröder  estudaram variantes deste problema independentemente um do outro no final do século XIX.

Diante dessa tarefa as seguintes questões pesquisadas foram formuladas para o projeto: Como Cayley e Schöder resolveriam atualmente  o caso de Cayley para como polinômio quadrático? e: Porque é tão mais difícil tratar o caso cúbico que o caso quadrático, e qual foi à evolução histórica que trouxeram os resultados do caso anterior? Para responder estas questões o grupo identificou e leu partes relevantes de fontes secundarias (com conteúdos matemáticos e/ou históricos) e de artigos originais do período de 1870 a 1920 por Schöder, Cayley, Koenigs, Fatou e Julia assim como material necessário para compreender a interação complexa. Baseado nesses materiais, o grupo deu uma interpretação da evolução histórica na área sobre as considerações e encontraram que a razão porque ele levou três décadas indo do grau dois para graus mais altos foram essencialmente maiores que dois. Primeiramente os métodos de Schöder e Cayley foram adaptados no caso com polinômios quadráticos e eles não generalizaram para grau maiores e o desenvolvimento matemático geral na teoria de conjuntos e topologia anterior ao  século XX foram pré requisitos para novos resultados obtidos por Fatou e Julia.

O projeto continha 78 páginas e foi defendido pelo grupo em exame oral supervisionado por examinadores externos e da própria universidade.

 

1. -Fontes primárias

 

 O centro e a importância do uso de fontes primárias foi discutido pela Discussion Document (questão 8) ICMI (Fauvel e Van Maanen, 1997).

 Não damos um exemplo aqui mas indicamos o capitulo nove (deste livro) para discussões mais detalhadas.

 

1.  Tarefas

 

O uso de tarefas é comum em todo o mundo. Os alunos fazem-nas em grupo ou individualmente, são de dois tipos:

 

a) Tarefas que contem uma coleção de exercícios em ordem consolidando um tópico que foi ensinado na aula e que poderá ser trabalhado, em classe ou em casa.

b) Tarefas que são designada que são como um conjunto de questões que estruturam e guiam e introduzem um novo tópico, um conjunto de problemas  ou um assunto para discussão. As tarefas são feitas para serem usadas na sala de aula em pares ou em grupos de alunos e o professor age como um consultor ou guia. Elas são também usadas em curso de formação de professores.

 

As do segundo tipo são especialmente do interesse aqui, ela s podem ser adequadas ao desenvolvimento da compreensão  Matemática através da integração da historia. 

Essas tarefas são estruturadas em torno de curtos resumos  históricos acompanhados por informações históricas descritas em seu contexto, seguidas por questões que visam auxiliar a compreensão do conteúdo, a discussão do conteúdo  matemático envolvido, comparando-o com o tratamento de agora, resolvendo problemas, ou inspirando-se neles. Se o resumo contém notações que são estranhas para os estudantes às questões traduzidas para a notação moderna, por fornecerem “dicionários”  parciais para serem completados.

Lendo criticamente os extratos, os alunos são encorajados a perguntar, checar cálculos discutir um argumento ou simplesmente completar uma sentença  Matemática  que emiti uma proposição. Algumas vezes as tarefas trazem argumentos sobre  Matemática e sua natureza. No caso das tarefas serem para cursos de formação de professores as questões também perguntam qual o potencial de ensino para sua prática e as similaridades e diferenças com a abordagem didática moderna.

(ver autores que usam essas tarefas)

 

1. - Acontecimentos históricos  (Historical Packages)

 

Bruckheimer e Arcavi (2000) definem: “Acontecimentos Históricos” como uma coleção limitada focada num pequeno tópico conforte ligação ao currículo adequada para dois ou três períodos de aula, preparadas para uso pelos professores nas suas aulas. Esses Packages são mais que partes históricas mas menos que uma abordagem compreensiva da historia de um tópico longo. Possivelmente elas são formadas entrono de  fragmentos de fontes primarias ( três a quatro linhas) embora elas sejam feitas pela direção do professor geralmente elas são baseadas na ação participativa dos estudantes. O papel do professor consiste de apresentar a experiência histórica, propondo as questões e guiando a discussão. Podem ser apresentadas de varias formas como num folder incluindo detalhes do texto  da atividade e as ilustrações precisam ser preparadas sobre forma de transparência, que contem reproduções de texto originais pintura de matemáticos.

O texto cita cinco exemplos: Vou dar um – O teorema de Pitágoras (preparado em inglês para alunos de quatorze anos de idade em Honconk 1999). O livro texto usado na escola foi analisado e melhorado considerando aspectos históricos do assunto. As Packages incluíram atividades, manipulações provas do teorema de Pitágoras em varias culturas relatando problemas, com as escritas  de narrativas históricas, o texto detalha as seguintes...

As Pachages contém todos os documentos e materiais necessários para sua realização e um breve guia para os professores.

 

1. - Tirando vantagens de erros, concepções alternativas, escolha de perspectivas, revisão de afirmações implícitas, argumentos intuitivos

Uma vantagem de implementar uma historia na apresentação e ensino da  Matemática é a oportunidade dos presentes apreciarem e fazerem uso explícito do papel construtivo de

1. erros
2. concepções alternativas
3. mudança da perspectiva de um assunto
4. paradoxos, controvérsias e revisão de afirmações implícitas e notações
5. argumentos intuitivos,

que aparecem na história e podem ser colocados para serem usados no ensino e aprendizagem da  Matemática, ou reconstruídos diretamente ou didaticamente (7.3.2).

(ii) rejeição dos números negativos. (iii) e (iv) prova dos postulados das paralelas (i) e (v) controvérsias sobre os infinitésimos e os muitos estranhos resultados sobre series infinitas e outros. Outros exemplos que proporcionam oportunidades para olhar sob a metodologia da invenção  Matemática, E. G. exploração da formula de Euler – Descartes V-E+F=2 em sólidos geométricos.

 

Finalmente outras que possam contribuir para aumentar a compreensão ( todos  ilustram o caso  (i) de erros)

a) Conduzindo a noções específicas de significados. A prova de Cauchy para a convergência de uma seqüência de funções continuas

b) Dirigindo a uma prova correta de um teorema especifico. Prova de Kempe para a conjectura de colorir um mapa com quatro cores.

c) Dirigindo a noções de significados e resultados corretos. O último teorema de Fermat – Prova de Lamé. ( Tem outros)

 

Daremos alguns detalhes de exemplos específicos:

1. Erros.
2. Concepções alternativas
3. Mudança de perspectiva
4. Revisão de afirmações implícitas
5. Argumentos intuitivos

Ilustração de como dois dos itens acima podem vir juntos num exemplo:

(ii) concepções alternativas e (iv) revisão de afirmações implícitas e paradoxo.

 

 

1. - Problemas históricos

 

A história da  Matemática estabelece uma quantidade de problemas que podem ser estimulantes e produtivos para professores e alunos. De uma perspectiva didática os problemas são de vários tipos:

1. problemas sem solução
2. problemas famosos a inda que insolúveis ou resolvidos com grande dificuldade
3. problemas que motivam e o antecipam o desenvolvimento de uma área  Matemática
4. Problemas engenhosos,  que tem alternativas ou soluções exemplares
5. Problemas apresentados para uma finalidade recreativa.

(Exemplos para níveis variados de instrução mas leves)

1. problemas sem solução: Duplicação do cubo trissecção de ângulo e quadratura do circulo.
2. problemas famosos a inda que insolúveis ou resolvidos com grande dificuldade: O último teorema de Fermat, conjectura de Goldbach – todo numero natural par é soma de dois primos
3. Problemas engenhosos,  que tem alternativas ou soluções exemplares: Prova de Dandelin da caracterização das seções cônicas consideradas como a intersecção de um cone e um plano, como  lugar geométrico de pontos usando duas esferas tangentes ao cone e o plano.
4. problemas que motivam e o antecipam o desenvolvimento de uma área  Matemática: O teorema do numero primo: o numero de primos menores que n aproximando asintoticamente n/ln(n).Isso motiva o desenvolvimento da teoria de números. O teorema de Weierstrass de aproximação polinomial para funções reais continuas, que estimulam o desenvolvimento da teoria de aproximação e analise funcional. O problema da braquistócrona de Johann Bernoulli esse problema e sua solução – A ciclóide – antecipam e motivam o desenvolvimento do calculo de variações e da mecânica analítica
5. Problemas apresentados para uma finalidade recreativa. (citar o jornal de  Matemática recreativa) o problema de Lagrand de provar que qualquer numero natural é a soma de quatro quadrados O problema das cinco cores – uma versão mais simples do problema de quatro cores

 

1. Instrumentos mecânicos

 

A introdução de instrumentos mecânicos nas aulas de  Matemática é relatada para dois problemas  interconectados para Educação  Matemática: O desenvolvimento sócio cultural da atenção  Matemática e a construção sob uma base empírica para provas  Matemáticas. É possível ilustrar muitas concepções  Matemáticas e provas usando instrumentos que tem sido inventados para seu uso, por exemplo, desenhando seções cônicas ou resolvendo ancient problemas geométricos gregos (http:://museo.umino.it.labmat/ nma referencia)

Exemplos:

1. Descartes em sua Géométrie de 1637 ( Descartes 1954) mostra como encontrar n meios proporcionais (geometricamente) entre dois comprimentos dados a e b. Ele da uma construção geométrica atual para fazer isso, que pode ser usada para construir um instrumento mecânico para executar a construção. Facilmente pode ser simulado usando um software de geometria dinâmica.

(tem outros exemplos).

 

 

1. Atividades experimentais de  Matemática

 

Uma atividade experimental de  Matemática consistiria de reviver argumentos (re-living) argumentos notações métodos jogos e outros modos de fazer  Matemática no passado. Diversos tipos de atividades são possíveis, mencionamos quatro:

1. Argumentos
2. Notações
3. Métodos
4. Jogos

 

 

 

 

 

1. Play (Teatro)

 

Podem designar re-experiencias da vida de matemáticos no passado, por exemplo, Ponza realizou um experimento com seus alunos que em seu estudo matemático, pesquisando e revivendo episódios da vida curta e turbulenta de Galois.

 

1. Filme e outros recursos visuais

 

Filmes que relatam a História da  Matemática podem demonstrar o contexto humano social e cultural da  Matemática e dos matemáticos., e ou desenvolvimento e argumentos de idéia  Matemáticas. Existem breves filmes que são comercializados em teatros (the Hill on the dark sid of the moon), programas de teve em USA, vídeo tapes “vida dos números” e outros.

 

1. Experiências fora da sala de aula

 

A  Matemática como experiência fora da sala por  observação de formulas, imagens, padrões da natureza, arquiteturas do passado e do presente. Explorando historicamente instrumentos com os alunos tais como de navegação e pesquisa para a prender trigonometria. Visitas a museus de ciências.

(Exemplo da cultura japonesa)

 

1. WWW

 

A www pode ajudar a integração da historia na Educação  Matemática em pelo menos dois módulos: Como um recurso e como um meio de comunicação

(Exemplos: hipertextos)