Leonardo de Pisa

Debora Cristina Pocai

Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná – CEFET-PR

resumo : Leonardo de Pisa  mais conhecido como Fibonacci viveu em uma época em que desenvolvimento científico começou a ressurgir uma vez que até então todo conhecimento estava atrelado à Igreja. Fibonacci em razão da profissão de seu pai viajou muito. Teve contato com vários sistemas matemáticos. Desse contato resultaram três grandes obras: Liber Abacci , Mis Pratical Geometricae e Liber Quadratorum.

Palavras-Chave:  Leonardo de Pisa, Fibonacci, Ábacos Liber e métodos.

Introdução: No século XII com o ressurgir do desenvolvimento científico destaca-se  um nome: Leonardo de Pisa mais conhecido como Fibonacci . Desempenhou um importante papel ao retificar a antiga matemática, e contribui significantemente com descobertas suas. Liber abaci introduz o sistema décima Hindu/Árabe e o uso numeração árabe, na Europa.

1. Desenvolvimento

Na Europa Ocidental e Central, sob uma visão geral do desenvolvimento científico ao longo do tempo, pode dizer-se que a Matemática não fez aí grandes progressos até o século XI, certamente porque predominavam as preocupações de natureza espiritual, com acentuado dogmatismo e toda a confiança na autoridade, em desfavor do que ocorria no mundo que nos rodeia. Discutir a natureza e a posição da Terra não nos ajuda na nossa esperança de vida futura - dizia Santo Ambrósio, Padre da Igreja Latina que viveu entre 340 e 397.

A partir do século XII, porém a atmosfera intelectual da Europa começou a ser favoravelmente influenciada pelos vastos contatos que resultavam das viagens e do comércio entre povos; surge um interesse extraordinário pela obra dos gregos, através de escritos árabes; e nascem as primeiras universidades (universitates magistrorum et scholarium) com professores cedidos pelas ordens religiosas.

O trabalho científico era realizado pelos escolásticos, que abraçavam doutrinas baseadas na autoridade dos Padres da Igreja e de Aristóteles, mas isso não impediu que alguns deles começassem a contestar o dogmatismo e a autoridade absoluta atribuída àquele filósofo grego do século IV a.C. - como foi o caso do franciscano inglês Roger Bacon (1214 - 1294), o Doctor Mirabilis que dava grande importância à Matemática e à experimentação como fontes de um conhecimento seguro; e também o empenhamento crescente em novas técnicas de navegação (em que os portugueses tanto se vieram a distinguir) foi outra razão para um renascer do interesse pela Matemática que se verificou nesta época. Época esta em que Leonardo de Pisa viveu.

Conhecido  como Fibonacci, apelido este atribuído pelo seu editor dos seus trabalhos no século XIX, Baldassare Boncompagni. Nasceu, por volta de 1170 provavelmente, em Pisa    cidade italiana, na Toscana, no curso inferior do rio Arno, muito importante na época romana por ser uma cidade portuária conquistada sobre os sarracenos no século XI, assegurando a atividade de seu comércio no Mediterrâneo Ocidental. Filho de Guglielmo Bonacci, um diplomata  cuja missão principal era a de representar os comerciantes da República de Pisa que comercializavam seus produtos em Bugia, porto  ao norte da costa africana, que posteriormente denominou-se Bougie e atualmente Bejaia que é um porto no Mediterrâneo na região nordeste da Argélia. Bonacci era, também um grande mercador de Pisa, pois, tinha uma extensa rede de negócios comerciais Fibonacci foi educado no norte da África, onde o seu pai trabalhava. Dedicou-se a estudar árabe, e, mais tarde, viajou com o seu pai, pelo Mediterrâneo, onde teve a oportunidade de aprender vários sistemas matemáticos empregados nos países que eles visitavam.. Quando de suas viagens pelo Egito, Síria, Grécia e tantos outros países que cultivavam a arte, Fibonacci aprendeu com os hindus os nove símbolos. Convencido que o método hindú-arábe era o melhor de todos, passou a dedicar seus esforços a transmiti-los a seus compatriotas italianos, o que o afastou totalmente de suas atividades comerciais de sua família.

Por volta de 1200, regressou à Pisa e dedicou-se exaustivamente a escrever trabalhos durante aproximadamente vinte e cinco anos e incorporou vários textos importantes, que fizera durante a sua viagem, de tudo aquilo que aprendeu. Dos trabalhos escritos por ele, há um que tem sido preservado e que inclui três das suas grandes obras.

A primeira obra intitulada  " Liber Abbaci " ( Livro do Ábaco ou do  Cálculo ) é um tratado que foi publicado em 1202  após o seu regresso a Itália.  A palavra abbaci - que provém do ábaco - não se refere ao algoritmo do cálculo efetuado no ábaco, mas simplesmente ao estudo do cálculo em termos gerais. É considerado o melhor tratado sobre Aritmética e Álgebra que nessa altura saiu da pena de um europeu. A primeira edição deste seu trabalho data do ano de 1202, enquanto que uma ligeira revisão foi publicada em 1228. Este tratado manteve-se como um modelo durante dois séculos. Muitos dos manuscritos ainda existentes testemunham a grandiosidade e beleza matemática que qualquer leitor interessado sente ao ler esta obra..

As palavras iniciais do Liber Abaci são históricas : "Estes são os nove símbolos hindus 9,8,7,6,5,4,3,2,1. Com eles, mais o símbolo 0, que em árabe é chamado zéfiro, qualquer número pode ser escrito. ". E foi assim que os algarísmos arábicos foram introduzidos na Europa em 1.202..

As fontes com que Leonardo se apoiou para escrever o Liber abbaci provêm amplamente do mundo islâmico, por ele visitado durante as suas muitas viagens, e que nesta obra aprofundou e encadeou todo o material recolhido segundo o seu estilo pessoal e de gênio. O livro contém não só as regras para o cálculo segundo os novos numerais indo-arábicos, mas também numerosos problemas de vários gêneros, mas de uma natureza prática, como é o caso do cálculo dos lucros, conversões de moedas, e mensuração, suplementado por textos de atuais temas de álgebra corrente, tais como miscelânea de problemas, problemas sobre movimento, o problema do resto chinês, e, no fim, várias formas de problemas resolvidos pelo uso de equações quadráticas. Entre os muitos problemas, encontra-se difundida por aqui e ali, uma limitada quantidade de teoria, tais como, métodos para somar séries (séries de Fibonacci) e justificações geométricas de fórmulas quadráticas.

Fibonacci usou uma grande variedade de métodos nas soluções dos seus problemas.
Muitas das vezes, de fato, usava procedimentos especiais designadamente para adequar um problema particular em vez de métodos gerais. Um método básico muitas vezes é o antigo método egípcio da "falsa posição", no qual uma conveniente, mas errada, resposta era primeiro dada e depois ajustada apropriadamente de modo a obter-se o resultado carreto. Leonardo usou também os métodos de al-Khwárizmi para resolver equações quadráticas. Para além deste matemático islâmico, também Abú Kámil e al-Karají, foram fontes para os seus trabalhos. Deles obteve problemas literais, os quais encontram-se em manuscritos arábicos descobertos por ele durantes as ditas viagens. A maioria dos problemas, porém, são de sua própria idealização e mostra a sua habilidade criativa. Poucos dos problemas de Leonardo e soluções darão o sabor deste magnifico trabalho matemático.

Os problemas expostos nos últimos capítulos do seu livro tendem a ser mais explicitamente algébricos. Entre eles encontra-se o mais famoso problema do Liber abbaci, em relação ao qual teremos a oportunidade de neste documento sabermos a importância que ele desempenha quer na Matemática quer noutras áreas do conhecimento, e ao mesmo tempo observarmos e aplicarmos algumas das propriedades que este problema fez derivar. O problema de que se está a falar é o bem conhecido problema dos coelhos:

Um fazendeiro cria coelhos. Cada coelho dá  origem a um coelho quando ele completa 2 meses de idade, e daí  em diante a um coelho a cada mês. Os coelhos nunca morrem, e ignoramos os machos.Quantos coelhos terá  o fazendeiro no n -ésimo mês, se ele começar com um coelho recém-nascido?

No primeiro mês, teremos um par de coelhos que se manterá no segundo mês, tendo em consideração que se trata de um casal de coelhos jovens; no terceiro mês de vida darão origem a um novo par, e assim teremos dois pares de coelhos; para o quarto mês só temos um par a reproduzir, o que fará com que obtenhamos no final deste mês, três pares. Em relação ao quinto mês serão dois, os pares de coelhos a reproduzir, o que permite obter cinco pares destes animais no final deste mês. Continuando desta forma, ele mostra que teremos 233 pares de coelhos ao fim de um ano de vida do par de coelhos com que partimos. Listando a sucessão 1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 na margem dos seus apontamentos, ele observou que cada um dos números a partir do terceiro é obtido pela adição dos dois números antecessores, e assim podemos fazê-lo em ordem a uma infinidade de números de meses.

Esta seqüência é conhecida atualmente como a seqüência ou sucessão de Fibonacci.

No capítulo final do Liber abbaci, Leonardo demonstra por completo o dominio da Álgebra dos seus predecessores islâmicos como ele mostra ao resolver equações que reduz numa última fase a equações quadráticas. Esta sua obra não continha nenhum particular progresso sobre os trabalhos matemáticos então ocorridos no mundo islâmico.

A segunda obra intitulada " Mis Praticae Geometricae " ( Prática da Geometria ) escrita em 1220 e dedicada a Dominicus Hispanus foi de fundamental importância, pois compilou toda a geometria da época em uma larga coleção de grandes problemas geométricos organizada em oito capítulos com teoremas geométricos baseados na obra  " Elementos de Euclides " . A estas alturas, sua reputação de grande matemático já era conhecida e, em 1.225, quando de passagem por Pisa, o imperador Frederico II decidiu promover uma espécie de competição para testar a habilidade de Leonardo. Uma das questões propostas por um conselheiro do imperador foi encontrar,pelos métodos euclidianos,um segmento x que satisfizesse a equação : x3 + 2x2+10x-20 = 0 Leonardo provou que o problema não poderia ser resolvido com régua e compasso (únicos instrumentos permitidos por Euclides ) mas deu uma solução numérica aproximada, correta até a nona casa decimal..Além de teoremas com provas precisas, o livro incluía informações práticas para agrimensores, inclusive um capítulo destinado ao cálculo da altura de objetos com base na semelhança de triângulos. No capítulo final, ele apresentou o que chamava de sutilezas geométricas que seria por exemplo, o cálculo dos lados de um pentágono ou de uma decágono inscrito e circunscrito num círculo.

O  material prático no Liber abacci e o Practica geometrae foram recolhidos por diversos estudantes e mestres do cálculo (maestri d'abbaco), os quais foram influentes nos vários séculos que se seguiram, ao trazer um renovado sentimento matemático à Itália.

A terceira e última obra contida num dos trabalhos de Fibonacci denominada  " Liber quadratorum " ( Livro dos quadrados ) foi escrita em 1225 e é uma das partes mais fascinantes de todo o seu trabalho, visto que é uma obra sobre a teoria dos números e foi inspirada em alguns trabalhos de Diophanti que se encontravam em al-Fakhrizmi de al-Karají, os quais discutiam resoluções no domínio dos números racionais de diversas equações abrangendo quadrados. Além disso, a obra examina métodos para encontrar os Trios Pitagóricos que são combinações de três números inteiros que se ajustam à equação doTeorema de Pitágoras. Fibonacci observou que podia ser construído números quadrados como soma  de números ímpares, essencialmente numa construção indutiva  através da equação n²+(2n + 1) =(n + 1 )² . Neste livro ainda consta um dos problemas que foi posto, como desafio, por Johannes de Palermo no qual diz o seguinte:

"  Achar um quadrado de um número que quando adicionamos ou subtraímos cinco, obtém-se sempre um  outro quadrado de um número."

Leonardo termina o Liber quadratorum com várias outras proposições envolvendo quadrados, incluindo uma solução para a questão proposta pelo Mestre Teodoro, filósofo, para o Imperador Frederico II:"Para encontrar três números os quais adicionados em conjunto com o quadrado do primeiro número dá um quadrado de um número. Mais ainda, este quadrado, se adicionado ao quadrado do segundo número, produz também um quadrado de um número. Para este quadrado, se o quadrado do terceiro número lhe for adicionado, um quadrado de um número é igualmente obtido". Os números 35, 144 e 360, formam a solução integral de Leonardo para o problema.

No que respeita à teoria dos números apresentada no Liber quadratorum, Leonardo não tinha nenhum sucessor até que a Arithetica de Diofanto foi de novo validada na Europa vários séculos mais tarde. De  fato, as suas contribuições originais e o uso de várias técnicas de teoria dos números não foram apreciadas até aos tempos modernos. Por outro lado, o material prático no Liber abacci e o Practica geometrae foram recolhidos por diversos estudantes e mestres do cálculo (maestri d'abbaco), os quais foram influentes nos vários séculos que se seguiram, ao trazer um renovado sentimento matemático à Itália.

Na obra  " Flos "  publicada, também, em 1225, Fibonacci abordou um outro desafio de Johannes que era a resolução da  equação  x³ + 2x² + 10x = 20  dando uma aproximação precisa a uma raiz, pois, a equação era resolvida por meio da interseção de um círculo com uma hipérbole. Ademais, ele provou que a raiz da equação não é um número inteiro, não é uma fração, nem a raiz quadrada de uma fração. Fibonacci sem explicar como resolveu a referida equação deu uma solução aproximada usando uma notação sexagesimal como 1.22.7.42.33.4.40 ( Na base 60 é escrito assim: 1 + 22/60 +7: 1 + 22/60 +7/60² + 42/60³ + ......). Convertendo para o sistema decimal temos: 1,3688081075.

Foram precisos uns  300 anos, porém, para este renovado sentimento matemático aumentar ao ponto onde as condições na Itália foram amadurecendo o suficiente para serem criados novos matemáticos.

Considerações Finais: Fibonacci  foi um dos responsáveis pelo ressurgimento do pensar matemático na Europa no século XII introduzindo os números hindo-arábicos.

Referências Bibliográficas:

https://sandroatini.sites.uol.com.br/fibonacc.htm

https://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/geniomat/fibonacci.html

https://www.barbacena.com.br/~cvidigal/math/fibonaci1.htm

https://www.matematica.br/historia/fibonacci.html

https://www.brasil.terravista.pt/magoito/1866/Historia/fibonacci.htm